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Mines Mathématiques 2 PSI 2023

Distance entre deux distributions de probabilités surN

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Séries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrement
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Mines
Année
2023
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2023PSI MathsMaths 2023
2025_08_29_c5ba63e79ae661be7247g

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

1 Nombre de points fixes d'une permutation.

Soit un entier naturel non nul. On note l'ensemble des permutations de l'intervalle entier , c'est-à-dire des bijections de vers lui-même. Si est une permutation, on appelle point fixe de tout entier tel que .
Une permutation est appelée un dérangement si elle n'a aucun point fixe. Pour tout , on note le nombre de dérangements de l'intervalle entier [[1,n]]. Par convention, on pose .
On munit l'ensemble fini de la probabilité uniforme notée . Sur l'espace probabilisé fini , on définit la variable aléatoire telle que, pour tout est le nombre de points fixes de la permutation .
On introduit enfin la série entière , dont le rayon de convergence est noté , et dont la somme sur l'intervalle de convergence ] - [ est notée :
Rappeler le cardinal de . En déduire que .
Pour , montrer que le nombre de permutations de ayant exactement points fixes est .
En déduire que .
3 - Montrer que
En déduire que .
En partant de la relation pour , exprimer pour entier naturel, sous la forme d'une somme.
5- Montrer que la loi de la variable aléatoire est donnée par
Sur l'espace probabilisé fini , on définit, pour tout , la variable aléatoire telle que, pour tout , on ait si , et sinon.
Montrer que suit une loi de Bernoulli de paramètre .
Montrer que, si , la variable suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
Exprimer à l'aide des . En déduire l'espérance et la variance .
Dans cette question, on fixe un entier naturel . Déterminer
Soit une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans , et vérifiant
Reconnaître la loi de .
On note et les fonctions génératrices respectives des variables et de la question précédente. Exprimer sous forme de somme, pour réel, et vérifier que

2 Convergence en variation totale

Dans la suite du problème, on appelle distribution (de probabilités) sur N toute application telle que
On note l'ensemble des distributions de probabilités sur .
Si et sont deux distributions sur , on définit la distance en variation totale entre et par
Soient trois distributions sur . Prouver les propriétés :
Si est une variable aléatoire à valeurs dans , définie sur un espace probabilisé ( ), on note la distribution de probabilités de . Ainsi, est l'application de vers définie par
Il est clair que .
En particulier, si est un réel strictement positif, on appelle distribution de Poisson de paramètre l'application telle que
Soient et deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour paramètres et . Calculer .
Soit une variable de Bernoulli de paramètre . Montrer que
En déduire que
On considère de nouveau les variables aléatoires introduites dans la partie 1 . Les questions 8. et 9. semblent montrer une certaine "convergence" des lois des variables vers la loi de Poisson de paramètre 1. Le but de la fin de cette partie est de montrer que
et que cette convergence est assez rapide.
Vérifier la relation, pour tout entier naturel non nul,
Pour entier naturel, on pose . Prouver la majoration
En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .
En continuant de majorer le second membre de l'égalité de la question 13., établir l'estimation
On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.

3 Autres estimations de distances en variation totale

Si et sont deux distributions de probabilités sur , on définit l'application par
Montrer que est une distribution sur .
Soient et deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans , définies sur un même espace probabilisé ( ). Prouver la relation
Soient . Montrer que, pour tout entier naturel,
Avec les notations de la question précédente, établir l'inégalité
Soit une variable binomiale de paramètres et . Prouver l'inégalité
Soit un réel strictement positif. Pour tout entier naturel tel que , on note une variable binomiale de paramètres et . Pour tout entier naturel, déterminer
On pourra utiliser la question précédente.
Soient et deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats et les méthodes qui précèdent, montrer que

Fin du problème

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