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Mines Mathématiques 2 PSI 2021

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Mines
Année
2021
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2021PSI MathsMaths 2021
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Noyaux de type positif

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés des opérateurs intégraux à noyau de type positif.
La partie préliminaire comporte des résultats utilisés par la suite et qui pourront éventuellement être admis.
La seconde partie définit les noyaux de type positif (en abrégé NTP) et en donne quelques exemples.
Enfin, la dernière partie étudie certaines propriétés d'un opérateur à NTP, et montre sur un exemple le lien avec la résolution d'une équation différentielle du second ordre ayant certaines conditions aux limites. On démontrera également, sur cet exemple, le théorème de Mercer (1909).

Notations

  • L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes est noté . On notera en particulier .
  • La matrice transposée d'une matrice est notée .
  • On note le sous-espace vectoriel de formé des matrices symétriques réelles.
  • On dit qu'une matrice est positive si :
et on note l'ensemble des matrices symétriques positives.
  • Les intervalles de qui interviennent dans le problème seront toujours supposés d'intérieur non vide.

Quelques résultats préliminaires

Soit .
Vérifier que pour tout vecteur on a:
Montrer que si , les valeurs propres de sont des réels positifs ou nuls.
Soit une application continue sur , à valeurs dans .
Pour on pose : .
Montrer que pour tout , l'application est continue sur .
On pose alors, pour tout .
Montrer que est de classe sur ; préciser .
5 - En déduire :
On a donc, en particulier : (c'est le théorème de Fubini).
Cette quantité sera notée simplement :
Soit une application continue sur , à valeurs dans . On suppose qu'il existe tel que, pour tous :
désignant un entier naturel non nul, on pose, pour tout entier ,
et pour tout entier ,
Enfin, on définit la somme de Riemann :
Démontrer que: .
Pour la suite, on admettra que ce dernier résultat reste valable pour toute application continue sur .

Noyaux de type positif

Soit un ensemble quelconque. Une application s'appelle un noyau de type positif (en abrégé NTP) si :
(i) est symétrique, c'est-à-dire : ;
(ii) pour tout , pour tout , la matrice (appelée matrice de covariance) :
appartient à .
Soit un espace préhilbertien réel, où le produit scalaire est noté . Montrer que l'application est un NTP.
Soit un ensemble. On dit qu'une application sur vérifie la propriété ( ) s'il existe un espace préhilbertien et une application tels que :
8 - Montrer que si vérifie la propriété ( ), alors est un NTP.
Montrer que si est un ensemble fini, et si est un NTP sur , alors vérifie la propriété .
Indication : on pourra diagonaliser la matrice .
On considère ici l'espace vectoriel des fonctions continues et de classe par morceaux sur l'intervalle , telles que (on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un espace vectoriel). Pour on pose :
Montrer que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire sur .
Soit le noyau
Montrer que vérifie la propriété .
Indication : pour tout , on pourra poser , où désigne l'application partielle .

Opérateurs à noyau

Soit un segment de . On notera l'espace vectoriel , que l'on munit du produit scalaire habituel : , et l'on note la norme associée.
Soit une application symétrique et continue de dans . On lui associe alors l'application définie sur par :
où désigne l'application partielle .
Montrer que si est une autre application symétrique et continue de dans telle que , alors .
Montrer que est un endomorphisme de , puis que cet endomorphisme est une application continue de l'espace vectoriel normé ( ) dans lui-même.
Montrer que est un endomorphisme symétrique de l'espace préhilbertien .
En déduire que si et sont deux valeurs propres distinctes de et si en sont deux vecteurs propres associés, alors et sont orthogonaux.
On suppose désormais que est un NTP.
15 - Montrer que, pour toute , on a . Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de ?
Indication : utiliser la question .
On prend maintenant, , et on note l'espace vectoriel que l'on munit du produit scalaire: , et l'on note la norme associée.
Soit donnée. On cherche ici à déterminer les applications de classe sur qui satisfont au problème aux limites :
Montrer que le problème possède une solution unique , donnée par
où est le NTP défini par :
Déterminer les valeurs propres de (on les exprimera sous forme d'une suite strictement décroissante .
Montrer que pour tout le sous-espace propre associé à la valeur propre est de dimension 1 , et déterminer un vecteur propre unitaire qui l'engendre.
Pour tout entier , on note et la projection orthogonale sur .
18 - En admettant la relation :
vérifier l'égalité :
Montrer que :
En déduire, pour toute :
21 - Montrer que la série de fonctions
est uniformément convergente sur , puis que
Démontrer que :
Indication : poser et montrer que .
En déduire la formule de la trace :
puis la valeur de
Les relations (1) et (2) se généralisent à tous les NTP ; il s'agit du théorème de Mercer (1909).
Fin du problème
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