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Mines Mathématiques 2 PSI 2020

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionTopologie/EVNSéries et familles sommables
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Mines
Année
2020
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2020PSI MathsMaths 2020
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

  • désigne un entier naturel non nul.
  • désigne l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille ( ), dont la matrice unité est notée .
  • désigne l'espace vectoriel des matrices réelles de taille ( ) (matrices colonnes). On le munit de son produit scalaire usuel et de la norme (euclidienne) associée définis par :
  • Pour , on note , la transposée de .
  • (respectivement ) désigne le sous-espace vectoriel de constitué des matrices symétriques (respectivement antisymétriques) de .
  • est le groupe orthogonal d'ordre .
  • est le groupe spécial orthogonal d'ordre .
  • Pour tout , on note et .
On rappelle que et .
Définition 1 Une matrice de est dite normale lorsqu'elle commute avec sa transposée, c'est-àdire lorsque .
Définition est dite orthogonalement semblable , s'il existe tel que . (On pourra noter en abrégé : est ORTS à )

Objectifs

  • Dans un premier temps, ce problème vise à établir que, pour une matrice , les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
    Il existe un polynôme à coefficients réels tel que .
    ( ) La matrice est normale.
    Pour tout .
    La matrice est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
  • soit de taille ,
  • soit de taille du type , où .
  • Dans un second temps, on définit et caractérise l'exponentielle d'une telle matrice.
On pourra utiliser, sans démonstration, les deux résultats suivants :
Théorème 1 Tout endomorphisme de admet au moins une droite ou un plan stable.
Théorème 2 Si et sont telles qu'il existe vérifiant , alors, pour tout polynôme à coefficients réels, on a .

I. Question préliminaire

  1. Montrer que la relation ORTS est une relation d'équivalence sur .

II. Exemples

  1. Montrer que les éléments de vérifient les conditions et , et que ceux de vérifient les conditions ( ), ( ) et ( ).
  2. Montrer que les éléments de vérifient les conditions ( ) et ( ).
  3. Dans cette question seulement, on suppose .
Montrer que les matrices , où et , vérifient les conditions ( ) et ( ).

III. Deux premières implications

Soit .
5. Montrer que si vérifie la condition ( ), alors vérifie la condition ( ).
6. Montrer que si vérifie la condition ( ), alors vérifie la condition ( ).

IV. La condition ( ) implique la condition ( )

Dans cette question seulement, on suppose et soit vérifiant la condition ( ).
7. Montrer que ou bien ( et et ).
On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs et de .
En déduire que vérifie la condition ( ).
Dans toute la suite de cette partie, on se donne vérifiant la condition ( ).
8. Montrer que, pour tout réel , la matrice vérifie ( ).
9. En déduire que et ont les mêmes sous-espaces propres et qu'ils sont deux à deux orthogonaux.
10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la matrice pour qu'elle soit diagonalisable.
11. Pour , montrer que est orthogonalement semblable à une matrice du type , où et vérifient ( ), avec .
On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à vérifie ( ).
12. Montrer que si vérifie la condition ( ), alors vérifie la condition ( ).

V. La condition ( ) implique la condition ( )

Soit , une famille de complexes deux à deux distincts.
13. Établir l'existence d'un unique polynôme de tel que :
On suppose de plus que, pour tout .
Montrer alors que le polynôme est réel.
Soient et tel que .
14. Montrer que .
Lorsque , on pourra utiliser la division euclidienne de par le polynôme caractéristique de la matrice de .
15. Montrer que si vérifie la condition ( ), alors vérifie la condition ( ).

VI. Exponentielle d'une matrice normale

  1. Pour tout , montrer que les séries et convergent et calculer leur somme.
L'espace vectoriel est désormais muni de la norme définie par :
  1. Montrer que, pour tout .
Pour et , on pose .
18. Montrer que la suite converge dans , vers une limite que l'on notera , et que:
On pourra montrer que, pour tous , la série numérique est absolument convergente.
19. Montrer que l'ensemble constitué des matrices normales de est un fermé de . Qu'en déduit-on pour , lorsque ?
20. Soit . Montrer que .
En déduire que est l'ensemble des matrices de orthogonalement semblable aux matrices diagonales par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
  • soit du type , avec
  • soit du type , avec et .
On note l'ensemble des matrices symétriques de à valeurs propres strictement positives, et l'ensemble des matrices de vérifiant les deux conditions :
  • les valeurs propres négatives de sont de multiplicité paire
  • il existe et telles que .
  1. Démontrer que .
  2. La matrice définie par :
est-elle l'exponentielle d'une matrice de ?
Fin du problème
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