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Mines Mathématiques 2 PSI 2019
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Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsEquations différentielles
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème
Pour
et on définit alors le moment d'ordre
Dans tout le problème la densité gaussienne est la densité
I Quelques exemples
- On considère
définie par . Montrer que est une densité sur , que tous ses moments sont finis et calculer pour . - Montrer que tous les moments de la densité gaussienne
sont finis. - Que vaut
pour ? - Calculer
pour .
On exprimera le résultat sous forme compacte avec des factorielles là où c'est possible.
5. Donner un exemple de densité
5. Donner un exemple de densité
Dans ce problème, on va s'intéresser à la question suivante : une densité est elle déterminée par l'ensemble de ses moments? Autrement dit, est-il vrai que
si deux densités
si deux densités
On va notamment voir que c'est vrai si
II Théorème de Stone-Weierstrass
On rappelle que
6. Justifier que, pour tout
6. Justifier que, pour tout
- Montrer que, pour tout
,
- Montrer que, pour tout
,
- En déduire que, pour tout
,
pour une constante
On se donne maintenant
Pour
Pour
- Montrer que, pour tout
,
où on rappelle que
11. En utilisant la définition de l'ensemble
11. En utilisant la définition de l'ensemble
On a donc démontré le théorème de Stone-Weierstrass : toute fonction continue sur
III Le problème des moments sur [0,1]
On considère ici deux densités
- Montrer que, pour toute fonction polynomiale
, on a
On sait par la partie II qu'il existe une suite de fonctions polynomiales
13. Montrer que
13. Montrer que
- Montrer alors que
sur .
IV Transformée de Fourier de la densité gaussienne
Pour
où
15. Justifier que
16. Justifier que
15. Justifier que
16. Justifier que
- Montrer que
est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à préciser. - Montrer que
pour tout . Dans la suite et si besoin on admettra que ceci reste valable pour tout .
V Le problème des moments sur [0,+の[
Dans cette partie on considère
- Montrer que
est bien une densité sur . On admettra que tous ses moments sont finis.
Pour
- Montrer que
où
21. A l'aide de la partie IV, en déduire que
21. A l'aide de la partie IV, en déduire que
Pour
- Déterminer une infinité non dénombrable de
pour lesquels et sont deux densités sur , distinctes et pour tout .
Fin du problème