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Mines Mathématiques 2 PSI 2018

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrement
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Mines
Année
2018
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2018PSI MathsMaths 2018
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Définition 1 (Fonctions dérivables) Pour tout entier , on notera l'ensemble des fonctions bornées de classe sur dont toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à sont aussi bornées. On note
où, comme d'habitude, .
Définition 2 (Fonctions à croissance lente) On dira qu'une fonction est à croissance lente si et seulement si il existe tels que pour tout réel ,
On notera l'ensemble des fonctions continues sur qui sont à croissance lente.
On note l'ensemble des fonctions à croissance lente, de classe dont toutes les dérivées jusqu'à l'ordre sont à croissance lente.
On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour , pour toute fonction de classe sur ,

I Préliminaires

  1. Montrer que pour toute fonction de classe sur ,
Pour et , on définit
  1. Démontrer que pour tout , pour tout ,
et en déduire que est intégrable sur .
On admettra que
  1. Calculer
en utilisant le changement de variables .
4. Démontrer que pour tout , la fonction
est bornée sur . En déduire que est un -espace vectoriel qui est stable par produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent à .

II Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck

Pour simplifier les notations, pour , on pose
  1. Démontrer que pour tout , pour tout et tout la fonction
est intégrable sur .
Pour tout , on définit alors la fonction par et pour tout ,
Pour , on note la fonction définie par
  1. Démontrer que, pour tout et tout est une fonction continue sur vérifiant
Indication. On pourra utiliser, après l'avoir prouvée, l'inégalité suivante : pour tout et tout :
  1. A l'aide d'un changement de variables, démontrer que pour tout , tout et tout :
Pour et fixés, soit la fonction définie par
  1. Montrer que
  1. Soit et fixé. Déterminer
En déduire que est de classe sur et que pour tout , sa dérivée est donnée par :
  1. Démontrer que pour tout et tout :
En déduire que pour tout , on a .
On admet dorénavant le lemme suivant.
Lemme 1 Si appartient à alors pour tout , la fonction est de classe et

III Générateur infinitésimal

Dans toute cette partie, on suppose que appartient à et l'on fixe .
11. Démontrer que est sur et que pour tout ,
  1. Soit , montrer que
  1. Montrer que est sur à l'aide du théorème de prolongement et que
On notera l'opérateur défini par
ou de façon plus simple, pour tout ,

IV Théorème central limite

On admet le théorème de représentation suivant.
Théorème 1 Pour toute fonction , pour tout ,
Soit ( ) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépendantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisé . On suppose de plus que a une espérance finie.
14. Montrer que et ont une espérance finie.
Indication. On pourra découper l'espace probabilisé selon la position de par rapport à 1 .
On suppose dorénavant que et . On fixe et l'on pose
  1. Rappeler la définition de l'indépendance mutuelle des variables . En déduire que les variables et sont indépendantes.
  2. Pour fonction bornée, montrer que pour et tout ,
Dans les questions suivantes, on suppose .
17. Déduire de (2) l'identité suivante :
  1. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question 1, établir l'identité suivante :
  1. Montrer que
  1. En utilisant la question 9 et l'équation (1), montrer que pour , pour tout , pour tout réel ,
puis que
  1. En déduire que
On admet que l'expression suivante
définit une distance entre les lois de et de . On a donc montré que la vitesse de convergence dans le théorème de la limite centrée est de l'ordre de .

Fin du problème

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