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Mines Mathématiques 2 PSI 2016

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Algèbre linéaireRéduction
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Mines
Année
2016
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2016PSI MathsMaths 2016
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A 2016 - MATH II PSI.

CONCOURS
COMMUN
MINES
PONTS
École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).

CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
Mathématiques II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices quasi-nilpotentes

Notations

Dans tout le problème, désigne ou .
Étant donnés deux entiers naturels et non nuls, on note l'espace vectoriel des matrices à lignes, colonnes et à coefficients dans , et celui des matrices carrées à lignes et à coefficients dans . Pour et dans , on note la matrice élémentaire de ayant exactement un coefficient non nul, situé en position et de valeur 1. La transposée d'une matrice sera notée .
Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure stricte lorsqu'elle est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls.
On note et les sous-ensembles de constitués, respectivement, des matrices symétriques, antisymétriques, et triangulaires supérieures strictes.
On rappelle la notation du symbole de Kronecker : pour et deux entiers,
Définition 1 Étant donné un entier naturel non nul n, un sous-espace vectoriel de , et un élément de , on note l'ensemble des matrices de dont toutes les colonnes sont nulles à l'exception éventuelle de la j-ième.
Pour toute matrice avec , on notera , et la décomposition de en blocs suivante:
On a en particulier défini des fonctions et , évidemment linéaires.

Objectifs

Définition 2 Soit une matrice de . On dit que est quasi-nilpotente lorsqu'elle ne possède aucune valeur propre non nulle dans . Une partie de est dite -nilpotente lorsque tous ses éléments sont quasi-nilpotents.
On se propose d'étudier les sous-espaces vectoriels quasi-nilpotents de . En particulier, le résultat principal que nous souhaitons établir s'énonce comme suit :
Théorème (Dimension des espaces quasi-nilpotents) Pour tout sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de , on a
La clé pour démontrer ce résultat réside dans le lemme suivant, démontré dans la partie C.
Lemme (Lemme des colonnes) Pour tout sous-espace vectoriel de , quasi-nilpotent, il existe un élément de tel que .

A Exemples

Dans cette partie, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
  1. Montrer que la matrice est quasi-nilpotente vue comme matrice de . Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de ?
  2. Montrer que la matrice est quasi-nilpotente vue comme matrice de .
  3. Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de . Montrer que la dimension de est .
  4. Montrer que est quasi-nilpotent dans . Vérifier que
  1. Soit . Montrer que pour tout . En déduire que est quasi-nilpotent dans .
  2. Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible telle que :
Indication : on pourra commencer par étudier le cas , en utilisant par exemple la matrice introduite à la question 1 .

B Cas réel

Dans cette partie, désigne un entier naturel non nul.
7. Déterminer l'ensemble des matrices de qui sont quasi-nilpotentes dans . Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace par ?
8. Soit un sous-espace vectoriel de , quasi-nilpotent dans . Déduire de la question précédente que :

C Lemme des colonnes

On se propose ici de démontrer le lemme des colonnes par récurrence sur l'entier .
9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas .
Dans la suite, on fixe un entier naturel et on suppose le lemme des colonnes vrai pour l'entier . On se donne un sous-espace vectoriel quasinilpotent de . On raisonne par l'absurde en supposant que pour tout . On introduit le sous-ensemble de constitué de ses matrices de dernière colonne nulle. Toute matrice de s'écrit donc par blocs
comme suit :
  1. Montrer que l'ensemble est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de .
  2. En déduire qu'il existe un entier tel que .
Soit une bijection de dans lui-même. Soit la base canonique de . On considère l'application linéaire de dans définie sur la base canonique par
On considère la matrice de :
  1. Vérifier que est inversible et préciser son inverse.
  2. Vérifier que est la matrice de dans la base canonique de . Montrer que est inversible et préciser les coefficients de son inverse.
  3. Pour , préciser les coefficients de en fonction de ceux de et de .
On pourra utiliser un changement de base.
15. Montrer que l'ensemble
est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de et que pour tout .
16. En déduire que pour tout on peut choisir un tel que . On obtient ainsi une fonction
  1. En considérant les images successives de 1 , montrer qu'il existe une suite finie d'éléments deux à deux distincts de telle que
  1. Ecrire un algorithme qui permette d'identifier une telle suite connaissant les valeurs de .
  2. Démontrer que 1 est valeur propre de la matrice , et conclure.

D Cas général

On va ici prouver l'inégalité ( QN ) par récurrence sur . Le cas est trivialement vrai. On fixe donc un entier naturel et on suppose l'inégalité (QN) établie au rang . Soit un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de .
On rappelle qu'on peut écrire toute matrice de , et en particulier de , sous la forme (1) et qu'en particulier, les applications et sont linéaires. On introduit le sous-espace vectoriel
Jusqu'à la question 21 incluse, on suppose que .
20. Montrer que .
21. En déduire que : .
On ne suppose plus désormais que .
22. Démontrer que : .
Fin du problème
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