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Mines Mathématiques 2 PSI 2014

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Suites et séries de fonctionsIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
Mines
Année
2014
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2014PSI MathsMaths 2014
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A 2014 MATH II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racine de l'opposé du Laplacien
et Equation de la chaleur généralisée

Notations

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers relatifs, l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres entiers strictement positifs, l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
On note l'ensemble des fonctions de classe , de période , où , et pour , on note .
On note la fonction définie par , et pour ,
Lorsqu'une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend pas de l'ordre des termes, ce qui justifie d'écrire
et de dire que la série converge absolument si et seulement si les séries et convergent absolument.

1 Séries trigonométriques

Question 1 Soit , démontrer que la suite des où , est bornée.
Question 2 Soit , donner l'expression de en fonction de . En déduire que pour tout , il existe tel que, pour tout entier relatif non nul
Soit , une suite d'éléments de , telle que la série converge absolument.
Question 3 Montrer que pour tout réel la série converge et que sa somme appartient à . Justifier que, pour tout .
Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l'entier , il existe et tels que
Question 4 Démontrer que pour tout entier, la série converge normalement; en déduire que appartient à .
Un opérateur différentiel sur est une application linéaire de dans luimême de la forme suivante :
où les réels sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de l'entier défini par .
Question 5 Démontrer qu'une application linéaire de dans lui-même est un opérateur différentiel d'ordre si et seulement si il existe un polynôme d'ordre tel que, pour tout entier relatif , et pour tout .

2 Equation de la chaleur généralisée

Soit une fonction : , strictement croissante, telle qu'il existe avec
Question 6 Soit , démontrer que la série converge normalement et que sa somme appartient à .
Question 7 Soit , démontrer que pour tout , la série converge normalement et que sa somme appartient à .
On définit l'opérateur par la formule
On suppose désormais que ,
et on définit l'opérateur sur par la formule suivante :
Question 8 Montrer que pour réel fixé et , la fonction est de classe sur .
Question 9 Démontrer que, pour et ,
On note l'opérateur identité de .
Question 10 Soit . Montrer que pour tout il existe un et un seul élément, noté u, appartenant à qui soit solution de l'équation .
Question 11 Montrer que pour et , et pour tout réel,
Question 12 Déterminer les valeurs propres de A, c'est-à-dire les complexes tels qu'il existe vérifiant .

3 Représentations intégrales

Dans ce paragraphe on s'intéresse à deux occurences particulières de la fonction : et définies sur par et . On pose
ainsi que
Question 13 Démontrer que si .
Question 14 Démontrer que est un opérateur différentiel et en donner l'expression. En est-il de même pour ?
Question 15 En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le titre du document.
Si est une fonction continue et intégrable sur , on pose
où ; c'est la transformée de Fourier de .
On admettra les formules suivantes :
Question 16 Déterminer le réel a tel que, pour tout , pour tout y réel et tout ,

4 Données initiales continues

On suppose dans ce paragraphe que , et on se limite à l'étude de .
On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction continue -périodique et tout , il existe un polynôme trigonométrique , soit
ù
tel que .
Question 17 En s'aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout y réel et tout réel strictement positif
Question 18 En utilisant l'expression de sous forme de série, montrer que
Question 19 En utilisant l'expression intégrale de obtenue à la question 17, montrer que pour tout y réel,

5 Décroissance de l'énergie

Pour , on pose et
Question 20 Montrer que E est une fonction décroissante de et déterminer sa limite en .

Fin de l'épreuve

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