ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2012

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans ce texte on note l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des réels positifs ou nul et l'ensemble des réels strictement positifs.

Pour tout entier strictement positif on note l'ensemble des endomorphismes de ; l'identité de est notée I. Le produit scalaire Euclidien de est noté ( ) et la norme associée . Si , l'ensemble des valeurs propres de S est noté . On définit la fonction sur à valeurs dans de la façon suivante :

c'est le quotient de Rayleigh de S.
On note l'ensemble des endomorphismes symétriques de . Si , on note respectivement et le minimum et le maximum de . On dit que est un endomorphisme positif (resp. strictement positif) si , on a . L'ensemble des endomorphismes positifs (resp. strictement positifs) est noté (resp. ).

Dans cette partie on considère .
Question 1 Soient et appartenant à , démontrer que .
Question 2 Montrer que atteint les valeurs et .
Question 3 Démontrer que l'on a

On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de T à cet effet.
Question 4 Montrer que (resp. ) si et seulement si (resp. .

Soit un intervalle contenant et une fonction définie sur , à valeurs dans R.

Question 5 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire U telle que

et que .
On notera l'endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à considérer comme une application de dans lui-même.

Question 6 Soit p la restriction à d'une fonction polynômiale à coefficients réels; on note , avec pour tout vérifiant . Démontrer que l'endomorphisme symétrique est égal à , où

Question -a-t-il des fonctions telles que ne soit pas égal à un polynôme de T ?
Question 8 Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de en fonction de ceux de T .
Question 9 Pour des fonctions et définies sur l'intervalle , démontrer que .
Question 10 On considère et la fonction définie sur par . Montrer que , où note l'inverse de l'endomorphisme s .

Question 11 On considère . Lorsque on note l'endomorphisme . Montrer que l'endomorphisme est bien défini et que . En admettant que toutes les valeurs propres de S sont simples, combien de solutions C dans , puis dans , à l'équation ?

Soient et deux éléments de . On note si et seulement si
.
Question 12 Démontrer que la relation définit une relation d'ordre dans , estelle totale?
Question 13 Soit , démontrer que si , alors .
Soit un intervalle de , on dit que la fonction définit un opérateur croissant si pour tout et tout , endomorphismes symétriques vérifiant , , alors

Question 14 Démontrer que l'application donnée par ne définit pas un opérateur croissant.

On pourra considérer à cet effet les endomorphismes et de matrices respectives

dans la base canonique.
Question 15 Soient et tels que ; en s'aidant de la question 13 avec , montrer que les valeurs propres de sont inférieures ou égales . En déduire que , puis que l'application donnée par définit un opérateur croissant.
Question 16 Soient et , tels que . Démontrer que les valeurs propres de sont positives. En déduire que l'application donnée par définit un opérateur croissant.

On va montrer que pour tout , la fonction définie par définit un opérateur croissant. Pour , on note la fonction donnée par

Question 17 Démontrer que définit un opérateur croissant. On pourra à cet effet s'aider de la question 15.

Soient une application : et une base de . On note la matrice de l'endomorphisme dans la base et les applications coordonnées de . On dira que est continue et intégrable sur si les fonctions coordonnées le sont. Par définition on notera l'endomorphisme dont la matrice dans la base a pour coefficients les . Cette matrice sera notée .
Question 18 Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base .
On considère et .
Question 19 Montrer que la fonction à valeurs dans définie par est continue et intégrable sur . On pourra trouver utile de faire appel à une base orthonormée adaptée à S .

On admet que

Question 20 Montrer que

Question 21 En déduire que la fonction définit un opérateur croissant.