ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2011

(Durée de l'épreuve : trois heures)

L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres réels positifs, et l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désigne par l'ensemble des entiers naturels et par l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.

Soit une fonction continue telle que . L'objet du problème est l'étude de l'équation différentielle

On dira qu'une fonction de classe sur un intervalle non vide est solution de si pour tout et .

Soit un réel strictement positif. On appelle solution de une fonction ( ou ) de classe telle que

Une solution de est dite maximale si ou bien elle est définie sur ou bien elle est définie sur un intervalle et elle n'est pas la restriction d'une solution définie sur un intervalle plus grand .

On admettra le résultat suivant :

1] Soit et . Alors il existe tel que le problème de Cauchy

possède une unique solution définie sur .
2] Soient deux intervalles inclus dans . On considère deux solutions de de classe . On suppose qu'il existe tel que . Alors, et coincident sur .
3] Pour tout il existe une unique solution maximale, notée , de . Son domaine de définition est alors noté est appelé temps de vie de la solution maximale . Ou bien , ou bien .

Le problème de Cauchy représente une course poursuite entre le lièvre et la tortue. Au temps , le lièvre est à l'origine tandis que la tortue est en . On verra que si alors le lièvre rattrape la tortue, on dit qu'il y a capture. Si alors la tortue parvient à s'échapper.

On pourra utiliser librement les résultats de la Partie 1 pour traiter la suite, même si on ne les a pas démontrés.

alors la dérivée (par rapport à est bornée sur . Aboutir à une contradiction et conclure qu'il existe tel que .
3) Montrer que . On suppose que . Prouver alors que se prolonge en une fonction de classe sur le segment solution de . Puis, en appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 avec et ], montrer que l'on contredit le caractère maximal de la solution . Conclure que . On prolonge alors par continuité en en posant .
4) Soient deux réels et tels que . On suppose qu'il existe tel que . En appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 montrer que cela entraîne l'égalité des deux solutions maximales et, aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout .
5) On suppose toujours . En déduire que . (On pourra, en raisonnant par l'absurde, supposer que et utiliser les questions 4), 3) et 1)).

On considère la fonction définie par :

définit la solution maximale de . Puis prouver que .
Jusqu'à la fin de cette partie 2 on considère une autre solution de , telle que : .
8) Pour chaque , donner une expression simple de en fonction de

est bien définie sur et y est constante. (On pourra utiliser les questions 4 et 8 ).
10) On suppose que . Prouver que est supérieur ou égal à . En supposant , calculer et aboutir à une contradiction. En déduire que .

Dans la question suivante on suppose .
11) Montrer que . Puis montrer, en considérant quand par valeurs inférieures, que ne peut pas être égal à 1 . Enfin montrer, en résolvant l'équation pour , que ne peut pas être un nombre réel. Conclure. (On rappelle que ).

Soit une fonction continue telle que . On rappelle que la fonction problème vérifie ces deux hypothèses. On note

En déduire que . On rappelle que a été introduite juste avant la Question 7.
Dorénavant et jusqu'à la fin du problème, on suppose que la fonction intervenant dans l'équation différentielle vérifie . On se propose alors de montrer qu'il n'y a pas de capture, c'est à dire que pour tout .

On raisonne par l'absurde, pour aboutir à une contradiction. Soit donc tel que la solution maximale, notée , de ait un temps de vie (fini).
13) Montrer que est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6).

Soit un réel . On désigne par la fonction définie sur par

On admettra que .
14) Montrer qu'il existe , que l'on précisera, tel que la solution maximale de a un temps de vie égal à 1 et peut être prolongée par continuité en 1 en posant . (On pourra montrer que est de la forme où est une constante à préciser).

Quitte à remplacer ( ) par ( ), on peut donc supposer que la solution maximale de a un temps de vie et peut être prolongée par continuité en 1 en posant .
15) Montrer que

et en déduire que

(On utilisera la deuxième inégalité de la question précédente et la définition de ).
17) Soit un réel tel que

Montrer alors que

Conclure que est strictement positif.
On rappelle que .
18) Déduire de ce qui précède l'existence d'une suite de réels strictement positifs vérifiant :

Etudier la convergence de cette suite et aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout réel .

L'équation a été introduite par Loewner. Elle joue un rôle important dans diverses branches des mathématiques (analyse complexe, processus stochastiques...etc).