Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires
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Algèbre linéairePolynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires
Rappels
On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de quand tend vers l'infini
On rappelle aussi que le déterminant d'une matrice de coefficient ( ) peut s'exprimer comme
où est l'ensemble des permutations de et est la signature de la permutation .
I Polynômes d'Hermite
Pour tout entier naturel , on définit la fonction par
où désigne la dérivée -ième de la fonction prise au point . (Par convention .)
Calculer et et établir pour tout entier , pour tout réel , l'identité suivante:
En déduire que est un polynôme de degré et de coefficient dominant 1 .
On admet que pour tous les entiers et ,
On notera dorénavant
Montrer que pour tout réel , l'identité suivante est satisfaite :
Montrer que pour tout réel , la fonction de la variable réelle définie par
admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence,
On considère la fonction définie par
Il est évident (et admis dans la suite) que satisfait la propriété suivante : pour tout réel et tout réel ,
Établir pour tout réel et tout entier positif , l'équation de récurrence suivante :
avec la convention .
6) Montrer que pour tout entier , l'identité est satisfaite.
On pose maintenant pour tout entier et pour tout réel ,
Les égalités (2) impliquent que
Calculer et pour tout entier .
Pour tout entier , tout réel et tout réel , exprimer
uniquement en fonction de et .
9) Établir, pour des réels et distincts, les identités suivantes :
II Étude de
Dans toute cette partie, est un entier naturel fixé. Soient et deux réels non nuls et une fonction continue sur , on considère l'équation différentielle suivante:
Montrer que l'équation différentielle ( ) a une solution unique dont on donnera l'expression.
Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l'admet dorénavant) que pour tout est solution de l'équation différentielle suivante:
Montrer que pour tout réel ,
avec pour tout entier :
Trouver un équivalent de quand tend vers l'infini.
Montrer que pour tout réel , l'inégalité suivante est vérifiée :
On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5).
14) Établir pour tout réel , la limite suivante :
III Intégrales de déterminants
Pour tout entier , on note la fonction de dans donnée par
pour tout .
15) Montrer, pour tout et dans , les identités suivantes :
Soit un entier tel que , et une permutation de l'ensemble . Pour deux entiers et de , on note la transposition qui échange et . On fait la convention : est égale à l'identité de si .
On pose
Montrer que définit une permutation de telle que . Calculer sa signature en fonction de celle de . (On distinguera le cas où du cas où .)
On note la restriction de à . On considère l'application définie par :
Soit , on rappelle que
Soit , établir les propriétés suivantes :
Montrer pour tout , pour tout entier , les identités suivantes:
Si est une fonction de à valeur dans , on note pour tout ( ) dans ,
On notera que si est continue sur alors Det est continue sur .
19) En utilisant l'expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier ,
avec par convention si .
IV Déterminants et intégrales
Pour tout entier , on note la fonction de dans définie par
Pour , on note la fonction de dans définie par récurrence par
et pour
Soient réels, , montrer les deux égalités suivantes:
Soient réels , établir pour tout entier , l'identité suivante :
On commencera par le cas .
Fin du problème
On déduit de tout ce qui précède, que pour tout entier et tout ,
où
Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l'on choisit une matrice hermitienne de taille , «au hasard», la probabilité que de ses valeurs propres soit dans un voisinage de est proportionnelle à det pour grand. Ces considérations sont particulièrement d'actualité pour l'étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les «box».
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