Version interactive avec LaTeX compilé

Mines Mathématiques 2 PSI 2007

Majoration de polynômes trigonométriques

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractionsIntégrales à paramètresTopologie/EVN

🔗 Explorer

Mines PSI Mines 2007 PSI Maths Maths 2007

2025_08_29_9ca9f0d93e97c4f2d02eg

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Majoration de polynômes trigonométriques

Soit

un réel strictement supérieur à 1 et

. On admet que si

sont deux fonctions continues, à valeurs réelles, définies sur l'intervalle

, alors

Soit

un entier non nul,

où pour tout

est un réel positif et

. On introduit sur

, les deux normes suivantes:

Pour tout

et tout

, on pose

est un réel positif, on note

Dans la suite,

désigne un réel supérieur ou égal à 1 .

L'objectif de ce problème est de montrer que

est fini et d'obtenir un majorant fonction de

I Préliminaires

- Soit

pour

. Calculer

2 - Soit la fonction définie sur par . Montrer que est de classe sur et calculer et .
3 - Soit une fonction de classe . Prouver que est de classe sur et calculer et .

II Propriétés de

Pour

, on introduit la fonction

définie par

4 - Montrer que pour tout , la fonction est dérivable et exprimer sa dérivée sous forme d'intégrale.
5 - Montrer que pour tout , la fonction ( ) est deux fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d'intégrale.
6 - Établir que

puis montrer que

est continue sur

7 - En utilisant les propriétés de , montrer que les dérivées partielles

existent et les exprimer sous forme d'intégrales.

8 - Montrer que est une fonction bornée sur , qui atteint son minimum.
On note l'un des points où le minimum est atteint.
9 - Montrer que pour tout ,

10 - Établir alors l'inégalité suivante:

11 - Établir la majoration suivante:

III Propriétés de

Dans cette partie,

est un élément quelconque de

fixé.

12 - Établir les deux identités

13 - Montrer que la borne supérieure est finie et qu'il existe tel que

14 - Montrer que .
15 - Montrer que la fonction est non identiquement nulle et n'est pas de signe constant.
16 - Soit . Soit . Montrer que est un ensemble compact non vide.

Soit

17 - Montrer qu'il existe tel que:

18 - Établir les relations

19 - Établir l'inégalité suivante:

IV Majoration

20 - Établir les inégalités suivantes:

21 - Montrer qu'il existe une constante , indépendante de et , telle que l'inégalité suivante soit satisfaite:

Fin du problème