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Mines Mathématiques 2 PSI 2006

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
Mines
Année
2006
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2006PSI MathsMaths 2006
2025_08_29_9b0db10a35dfdb3829e0g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On désignera dans tout le problème par:
  • l'espace des matrices réelles à lignes et colonnes. On note , la matrice nulle.
  • , l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre . On note , la matrice nulle.
  • la transposée d'une matrice .
  • , le sous-ensemble de , constitué des matrices symétriques d'ordre , c'est-à-dire les matrices qui satisfont .
  • la matrice identité d'ordre .
  • ( ) le produit scalaire de deux matrices colonnes.
On rappelle que pour toute matrice de et tout couple de matrices colonnes ( ) où et , l'identité suivante est satisfaite:
Définition 1. Une matrice est dite positive lorsque pour tout de .
Une matrice est dite définie positive lorsque pour tout de .
Définition 2. Si et sont deux matrices de , on dit que est plus petite que pour l'ordre de Löwner, et on note , si la matrice est positive. On notera si est définie positive.

On suppose dorénavant que est une matrice symétrique réelle d'ordre .

I. Matrices positives

  1. Montrer que si est positive, alors pour toute matrice réelle , la matrice est symétrique positive.
  2. Montrer que toutes les puissances entières d'une matrice symétrique positive sont positives.
  3. Montrer que est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de sont toutes positives, respectivement strictement positives.
  4. Si est définie positive, montrer qu'il existe une matrice , symétrique définie positive telle que .
  5. Si et sont symétriques définies positives et , montrer que, pour toute valeur propre de , on a:
  1. En déduire que si est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive telle que et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de , la matrice est diagonale.
On notera désormais .
7) On suppose définie positive. Montrer que est inversible et qu'il existe une unique matrice, notée , symétrique définie positive telle que .
8) Prouver que .

II. Ordre de Löwner

  1. Montrer que l'ordre de Löwner est une relation d'ordre sur .
  2. Soit avec . Montrer que pour toute matrice réelle , la relation est vérifiée.
  3. Montrer que si alors est inversible et .
  4. En déduire que si alors est inversible et .
  5. Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur les réels et pour que la matrice soit positive.
  6. On considère les deux matrices suivantes:
Montrer qu'il existe des réels et de sorte que mais que .

III. Fonctions matriciellement croissantes

Soit un entier non nul et une matrice diagonalisable à valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonale et une matrice inversible telles que . Notons ( ) les valeurs propres de , répétées suivant leur multiplicité, qui sont donc les coefficients diagonaux de .
Définition 3. Si est une fonction de dans et une matrice diagonale positive, on note la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux
sont donnés par pour .
15) On considère une fonction de dans et l'on note . Soit et un réel positif tels que . Calculer .
16) Montrer que, pour toutes matrices et inversibles et toutes matrices diagonales et de telles que , on a :
Désormais, si est une matrice diagonalisable à valeurs propres positives et est une diagonalisation de , on définit par
Définition 4. Une fonction est dite matriciellement croissante sur si pour tout et tout couple ( ), de matrices symétriques, l'implication suivante est satisfaite :
Soit l'ensemble des fonctions continues sur , à valeurs dans , telles que ( ) soit intégrable sur et soit intégrable sur . On définit une fonction par:
  1. Pour , on pose . Pour quelles valeurs de a-t-on ? Exprimer alors, pour tout en fonction de .
  2. Soit . On pose pour tout . Exprimer lorsque est une matrice symétrique positive.
  3. Montrer que est matriciellement croissante sur .
  4. Pour toute matrice positive et toute matrice colonne , établir l'identité:
  1. Montrer que, pour toute , l'application est matriciellement croissante sur .
  2. Soient et deux matrices symétriques telles que . Comptetenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif , pouvez-vous montrer que ?
FIN DU PROBLÈME
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