CONCOURS D'ADMISSION 2005
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière PSI
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière PSI.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les différentes parties sont indépendantes. Ceci étant, la plus grande attention sera apportée à l'unité de votre travail. La résolution intégrale de partie sera hautement appréciée.

Ce problème traite des applications de la notion de supplémentaire d'un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel, et de ses applications tant en algèbre qu'en analyse ou en géométrie.

Les théorèmes du cours utilisés lors de la résolution de ce problème devront être énoncés avec précision, leurs hypothèses devront être soigneusement vérifiées.

Dans ce texte,

représente l'ensemble des fonctions numériques, de classe

sur

. D'autre part, pour deux espaces vectoriels

représente l'ensemble des applications linéaires de

dans

I. Deux exemples simples de supplémentaires

Soit et soit le sous-espace vectoriel constitué des fonctions paires. Donner un supplémentaire de dans .
Soit et le sous-espace vectoriel constitué des solutions de l'équation différentielle .
Montrer qu'il existe deux fonctions et , que l'on déterminera explicitement, telles que tout élément de se décompose de manière unique sous la forme:

Déterminer l'unique matrice telle que l'on ait, pour tout ,

Montrer que telle que est un supplémentaire de dans .

II. Supplémentaires, stabilité et diagonalisation

Soit

l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base canonique de

est:

Montrer que est diagonalisable.
Montrer que le plan ( ) d'équation est stable par .
Déterminer un supplémentaire de ( ) stable par .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de . Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i - L'endomorphisme est diagonalisable.
ii - Tout sous-espace vectoriel de admet un supplémentaire stable par .

III. Supplémentaires et calcul différentiel

La définition suivante permet d'étendre les notions de famille génératrice et de famille libre, aux espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. Soit

-espace vectoriel et

un ensemble d'indices non nécessairement fini.

Une famille ( ) est dite génératrice de lorsque tout vecteur de est combinaison linéaire d'une sous-famille finie ( ) de .
Une famille ( ) est dite libre dans lorsque toute sous-famille finie de cette famille est libre.
Soit l'espace des fonctions de classe définies sur et à valeurs dans . Pour , on définit la fonction

Soit

le sous-espace vectoriel engendré par la famille

. On pose

Pour

, on note

l'ensemble des fonctions qui s'écrivent

avec

.
9) Prouver que la famille

est libre.
10) Montrer que les restrictions

(respectivement

) de

(respectivement

sont des endomorphismes de

.
11) Déterminer

.
12)

Montrer que

.
13) Soit le changement de variables

ainsi que l'application

Montrer que

est un automorphisme de

.
14)

Montrer que

.
15) Montrer que

.
16) Déterminer un supplémentaire de

dans

IV. Supplémentaires et géométrie

Soient trois -espaces vectoriels: et . On suppose de dimension finie. On se donne et .
Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i) Il existe tel que .
ii) .
Soient un -espace vectoriel et ( ) formes linéaires non nulles notées pour . On note . Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes:
i) L'inclusion suivante est satisfaite:

ii) Il existe

tels que

Indication : on utilisera éventuellement l'application:

On considère, dans cette question, l'espace muni de sa structure affine euclidienne canonique, que l'on rapporte à un repère orthonormé. Soit la droite définie par . Soit également la sphère d'équation

En utilisant ce qui précède, déterminer les équations cartésiennes des plans contenant (

) et tangents à (

FIN DU PROBLÈME