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Mines Mathématiques 2 PSI 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéairePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Séries et familles sommables
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Mines
Année
2004
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2004PSI MathsMaths 2004
2025_08_29_711d15b3096aa9cb6445g

A 2004 Math PSI 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est l'étude de deux suites réelles et et des séries entières de termes généraux et .
Soient et les deux suites réelles définies chacune par leurs deux premiers éléments et la même relation de récurrence ci-dessous :
Soit l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 2 ; soient la matrice unité et la matrice carrée définies par les relations suivantes :
Pour tout entier naturel , soit la matrice définie par la relation suivante :
Soient la matrice et le sous-espace vectoriel de engendré par les deux matrices et .

Première partie

Le but de cette partie est l'étude alternée des deux suites de réels et de la suite des matrices ; elle permet d'obtenir des résultats préliminaires.

Quelques propriétés:

  1. Démontrer que la suite des matrices , où est la matrice élevée à la puissance , (avec la convention habituelle ), appartient à l'espace vectoriel .
  2. Établir la relation qui, pour tout entier naturel , lie les matrices et .

Caractérisation de la suite de matrices ; quelques conséquences :

  1. Comparer, pour tout entier compris entre 0 et les matrices et . Démontrer qu'il existe, pour tout entier naturel , une relation simple entre les matrices et .
  2. Déduire des deux résultats précédents les relations suivantes :
  1. Étant donnés deux entiers naturels et , exprimer les termes et des suites et en fonction des termes et de ces mêmes suites.

Inverse des matrices :

  1. Déterminer l'inverse de la matrice en fonction des matrices et . Exprimer les coefficients des matrices et à l'aide des réels et .

Des polynômes annulés par la matrice

Soit, pour tout entier supérieur ou égal à le polynôme défini par la relation suivante :
  1. Démontrer que le polynôme est divisible par le polynôme .
  2. Quel est le polynôme caractéristique de la matrice ?
  3. Calculer la valeur de la matrice .

Divisibilité du polynôme par :

Soit toujours un entier supérieur ou égal à 2 .
10. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice . En déduire la relation suivante :
  1. Soient et les polynômes obtenus en effectuant la division euclidienne du polynôme par le polynôme :
Préciser les degrés des polynômes et .
Démontrer, en utilisant par exemple les résultats de la question précédente, que le polynôme est divisible par .

Deuxième partie

Le but de cette partie est l'étude de propriétés de suites construites à partir des deux suites et .

Un calcul de sommes :

  1. Le but de cette question est de calculer, pour tout entier supérieur ou égal à 2 ( ), des expressions plus simples des deux expressions suivantes :
Déterminer les expressions de et de en fonction respectivement de et de en considérant par exemple la matrice définie par la relation suivante :
Soit la suite définie par les relations suivantes :
Détermination des éléments de la suite à l'aide des réels et .
13. Démontrer que le polynôme est divisible par le polynôme .
14. En déduire que la matrice vérifie, pour tout entier naturel , la relation suivante :
  1. Déduire de la relation précédente que les termes des suites et vérifient, pour tout entier naturel , les relations suivantes :
  1. Déduire des résultats précédents l'expression du terme général de la suite , définie par les relations suivantes :
en fonction de termes des suites et .

Troisième partie

Le but de cette partie est l'étude des deux séries entières de termes généraux et . Pour tout entier naturel , soit la matrice définie par la relation suivante :
et la somme des premières matrices :
  1. Déterminer pour quelles valeurs du réel la matrice est inversible et déterminer son inverse sous la forme d'une combinaison linéaire des matrices et .
Il est admis qu'une suite de matrices de l'espace vectoriel tend vers 0 , lorsque l'entier croît vers l'infini, si et seulement si tous les termes de la matrice tendent vers 0 .
18. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le réel pour que la suite de matrices tende vers 0 lorsque l'entier croît vers l'infini.
19. En déduire, lorsque la condition obtenue sur le réel est réalisée, la limite de la suite de matrices .
20. À partir des résultats précédents, déterminer un minorant des rayons de convergence des deux séries entières de termes généraux et et les sommes et de ces deux séries :

FIN DU PROBLÈME

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