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Mines Mathématiques 2 PC 2025
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractionsIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
CONCOURS 2025
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Étude des séries congruo-harmoniques alternées
L'objectif de ce problème est d'étudier une famille de séries particulières. Quelques premiers résultats sont établis dans les préliminaires. La partie 1 propose d'établir une expression des séries congruo-harmoniques alternées sous la forme d'une intégrale. La partie 2 propose de calculer la valeur de la somme de la série dans certains cas particuliers. La partie 3 s'intéresse à des calculs de probabilités relatifs aux choix des paramètres de la série. Enfin, la partie 4 se propose d'étudier la vitesse de convergence de ces séries.
Notations
-
désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls. -
désigne l'ensemble des nombres réels. désigne l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls. -
désigne l'ensemble des nombres complexes. Si , on notera le conjugué de . - Pour tout
avec , on pose . - Pour tout
désigne la partie entière de . - Pour tout couple
, on dit que divise et on note , s'il existe un entier tel que .
Définition 1 Soit
et l'on note, sous réserve de convergence,
Nous ferons référence aux sommes partielles de cette série par la fonction
Nous ferons référence aux sommes partielles de cette série par la fonction
Préliminaires
1 Expression de
Dans cette partie, on fixe
6 - Déterminer
2 Calcul des
L'objectif de cette partie est de déterminer une formulation explicite de la somme de la série congruo-harmonique de paramètres
Enfin, pour tout couple
Dans le reste de la partie 2 , on fixe un couple
où les
Dans le cas où
où l'on a posé
où, pour tout
On admet que les
3 Quelques calculs de probabilités
L'objectif de cette partie est d'évaluer la probabilité qu'un couple d'entier
On fixe pour cela
et en déduire
4 Vitesse de convergence des
Dans cette dernière partie, on s'intéresse à la vitesse de convergence des séries congruoharmoniques. On introduit pour cela la définition suivante.
Définition 2 Soit
On qualifie alors la vitesse de convergence de la suite
- Si
: la convergence sera qualifiée de supra-linéaire. - Si
: la convergence sera qualifiée de linéaire. - Si
: la convergence sera qualifiée d'infra-linéaire.
On définit alors la vitesse de convergence d'une série comme étant celle de la suite de ses sommes partielles.
On définit enfin, pour tout
Fin du problème
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