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Mines Mathématiques 2 PC 2024

Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéduction
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Mines
Année
2024
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2024PC MathsMaths 2024
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et rappels

Soit un entier supérieur ou égal à 1 .
  • On note ( ) (resp. ) le produit scalaire euclidien usuel de deux vecteurs et de (resp. et de identifié canoniquement à ) et la norme de (resp. la norme de ) associée au produit scalaire.
  • Etant donnés deux points et de , on note la distance entre et associée à la norme euclidienne usuelle :
où est le point origine.
  • Un endomorphisme symétrique de est dit positif si
Une matrice symétrique de est dite positive si
  • Soit une base orthonormée de . Un endormorphisme symétrique de est positif si, et seulement si, sa matrice (symétrique) dans est positive.
  • On appelle matrice de distance euclidienne (on notera MDE pour abréger) une matrice carrée d'ordre telle qu'il existe un entier naturel non nul et des points de tels que pour tout on a:
On se propose dans ce sujet d'apporter une réponse partielle au problème consistant à déterminer, étant donnés des réels , une de spectre .
On admet sans démonstration dans ce sujet que des endomorphismes symétriques de sont positifs si et seulement si leur spectre est inclus dans .

1 Matrices de Hadamard

On appelle matrice de Hadamard d'ordre toute matrice carrée d'ordre dont tous les coefficients sont égaux à 1 ou à -1 et telle que soit orthogonale.
Donner des exemples de matrices de Hadamard d'ordre 1 et 2.
Montrer que si est une matrice de Hadamard alors toute matrice obtenue en multipliant une ligne ou une colonne de par -1 ou en échangeant deux lignes ou deux colonnes de est encore une matrice de Hadamard.
Montrer que si est une matrice de Hadamard d'ordre alors il existe une matrice de Hadamard d'ordre dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 . En déduire que si alors est pair.
Montrer que si est une matrice de Hadamard d'ordre supérieur ou égal à 4, alors est multiple de 4 . On pourra commencer par montrer que l'on peut supposer la première ligne de uniquement composée de 1 et sa deuxième ligne composée de coefficients égaux à 1 puis coefficients égaux à -1 .

2 Quelques résultats sur les endomorphismes symétriques

Soit un endomorphisme symétrique de . On note les valeurs propres classées par ordre croissant de . Pour , on introduit l'ensemble des sousespaces vectoriels de de dimension . On admettra ici que les min et max considérés existent bien (cela découle de la continuité des expressions considérés).
Justifier l'existence d'une base ( ) orthonormée de formée de vecteurs propres de , le vecteur étant associé à pour tout . On garde par la suite cette base.
Soit et un sous-espace vectoriel de de dimension . On pose .
Justifier que .
En considérant , justifier que:
Soit . A l'aide de , montrer l'égalité :
C'est le théorème de Courant-Fischer. On aura également besoin par la suite du résultat de factorisation suivant :
Soit une matrice symétrique de . Montrer que si est positive, alors il existe telle que . En déduire que si n'est plus supposée positive, mais admet une unique valeur propre strictement positive d'espace propre de dimension 1 et de vecteur propre unitaire , alors il existe telle que .

3 Caractérisation des MDE

On note la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 . On note l'ensemble des MDE d'ordre et l'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre telles que . On note enfin la matrice d'ordre définie par
On note l'application de dans qui à associe
et l'application de dans qui à une matrice associe
où a est la matrice colonne de dont les coefficients sont les coefficients diagonaux de .
Montrer que est symétrique et que l'endomorphisme de canoniquement associé est une projection orthogonale sur .
Soit . Soient des points dont la matrice est la matrice de distance euclidienne. On note les vecteurs coordonnées des . Soit la matrice dont les colonnes sont les et la colonne formée des . Ecrire comme combinaison linéaire de et . En déduire que pour toute matrice de on a .
Montrer que pour toute matrice de on a .
Montrer que les applications et vérifient :
On peut montrer (mais ce n'est pas demandé) que l'on a également et que ces deux applications sont bijections réciproques l'une de l'autre.
Montrer qu'une matrice symétrique d'ordre à coefficients positifs ou nuls et de diagonale nulle est MDE si et seulement si est positive.
15 - Montrer que toute matrice symétrique à coefficients positifs, non nulle et de diagonale nulle, ayant une unique valeur propre strictement positive d'espace propre de dimension 1 et de vecteur propre e est MDE.

4 Spectre des MDE

On conserve ici les notations de la partie précédente.
Préciser la somme des valeurs propres d'une MDE d'ordre .
Soit une MDE d'ordre non nulle. Montrer que pour tout , on a
Soit une MDE d'ordre non nulle. Soient ses valeurs propres, ordonnées dans l'ordre croissant. Montrer
et en déduire que a exactement une valeur propre strictement positive.

5 Problème inverse pour les MDE

Soit une matrice de Hadamard d'ordre et de première ligne constante égale à 1 . Soient des réels tels que
et
On note la matrice et la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les . On note enfin .
Montrer que est symétrique, à coefficients positifs et à diagonale nulle, et a pour valeurs propres , avec d'espace propre de dimension 1 .
Montrer que est MDE.
Donner une matrice de distance euclidienne d'ordre 4 telle que son spectre soit .
Remarquons pour finir que la portée de ce résultat est à nuancer, car outre les conditions sur les ordres possibles pour les matrices de Hadamard, on ne sait même pas s'il existe de telles matrices pour tout ordre multiple de 4 ! D'autre part, il existe évidemment des matrices de distance euclidienne d'ordre impair...

Fin du problème

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