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Mines Mathématiques 2 PC 2022

Le théorème matriciel de Kreiss

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Polynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries et familles sommables
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Mines
Année
2022
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2022PC MathsMaths 2022
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le théorème matriciel de Kreiss

Soit . Pour , le vecteur colonne appartient à ; on pose
On admet que l'application est une norme sur . On note
On identifie à . Ainsi, si et est un nombre complexe.
Si , on note le polynôme caractéristique de l'ensemble des valeurs propres de . Si , on note le coefficient de situé à la -ième ligne et à la -ième colonne. Pour , on note
Soient
Les parties 4 et 5 sont indépendantes des parties 1 , 2 et 3 . Dans la partie 3, les questions 7 à 10 sont indépendantes des questions 5 et 6 .

1 Norme d'opérateur sur

1 Justifier que si , l'application
atteint son maximum, que l'on notera .
Établir les deux propriétés
On admettra dans la suite que l'application est une norme sur .
Si , montrer que
En déduire que, si est dans , alors

2 L'ensemble

Soit l'ensemble des matrices de telles que la suite soit bornée. Pour , on pose
Soient . Montrer que la suite est bornée.
Si , si est un vecteur propre de associé à , exprimer pour , le vecteur en fonction de et . En déduire que .
On suppose que . Indiquer, avec justification, une matrice de , triangulaire supérieure, telle que , mais n'appartenant pas à .

3 Résolvante d'un élément de

On dit que l'élément de vérifie si, pour tout de , il existe un élément de tel que
Montrer que les matrices diagonalisables de vérifient . On commencera par le cas des matrices diagonales.
On admet que toute matrice de vérifie . En déduire que, si et , il existe un élément de tel que
Soient et . Montrer que la série de matrices converge.
On admettra le fait suivant : soit ( ) un espace vectoriel normé de dimension finie ; si est une suite d'éléments de telle que la série converge, alors la série converge dans .
Si , donner une expression simplifiée de .
En déduire que
Pour , on définit la fonction
Déduire de la question précédente l'inégalité
Soit une suite de nombres complexes telle que la série converge absolument. On pose
Justifier l'existence et la continuité de la fonction .
Pour , montrer que
Soient et . Déterminer une suite de nombres complexes telle que la série converge absolument et que
Si , en déduire, en utilisant la question 9, une expression intégrale de .

4 Variation totale et norme uniforme

Soit l'espace des fonctions de classe de dans . Pour , on pose
11 - En considérant une suite de fonctions bien choisie, montrer qu'il n'existe pas d'élément de tel que
Soit à valeurs réelles. On suppose que l'ensemble des points de en lesquels la fonction s'annule est fini. On note le cardinal de et, si , on désigne par les éléments de . On pose et .
Montrer que
Pour , soit la fonction de dans égale à 1 sur et à 0 sur . Montrer que
Si , montrer que l'ensemble est fini de cardinal majoré par ; on note ce cardinal.
Si , exprimer en fonction de . En déduire l'inégalité

5 L'inégalité de Spijker

On appelle fraction rationnelle tout quotient où et . Une telle fraction peut s'écrire sous la forme précédente de façon que et n'aient pas de racine commune dans ; si tel est le cas, les racines de dans sont, par définition, les pôles de . On note l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle dans de la forme où et sont deux éléments de .
Soient, dans la suite de cette partie, et deux éléments de vérifiant et
Pour , on pose
ù
Pour , on définit une fonction de dans par
Dans cette question, on fixe et on suppose que n'est pas constante. On fixe également . En utilisant éventuellement l'expression de comme partie réelle de et la formule d'Euler pour la partie réelle, déterminer tel que
En déduire que l'ensemble est fini de cardinal majoré par .
En observant que la fonction est -périodique, calculer, pour , l'intégrale
En déduire que, si ,
Exprimer l'intégrale
en fonction de .
17 - On admet l'égalité
On admet aussi que, pour tel que ne soit pas constante, l'ensemble des points de en lesquels la fonction s'annule est fini (ce que l'on pourrait établir en raisonnant comme dans la question ).
En déduire l'inégalité
(3) .

6 La version de Spijker du théorème matriciel de Kreiss

Soit . L'inégalité (1) de la question 8 justifie la définition de
et entraîne que . On se propose de majorer en fonction de .
Dans les questions et , on fixe et . Pour , on note
Montrer qu'il existe un élément de dont les pôles sont tous dans et tel que les deux propriétés suivantes soient satisfaites :
En utilisant la question précédente, une intégration par parties et l'inégalité (3) de la question , montrer que
20 - Démontrer finalement l'inégalité
Ce résultat de M.N. Spijker (1991) améliore un théorème de H.O. Kreiss (1962). La constante en est asymptotiquement optimale.

Fin du problème

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