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Mines Mathématiques 2 PC 2021

Polynômes à racines toutes réelles

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéairePolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Mines
Année
2021
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2021PC MathsMaths 2021
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

  • Pour tout , on notera le coefficient binomial où .
  • On note les fonctions de classe . On dit que est un zéro d'ordre de si
Dans la suite du texte quand on liste les zéros d'un polynôme on répètera chaque racine autant de fois que sa multiplicité : ainsi les racines de sont .
  • On note l'opérateur de dérivation, i.e. . Pour , on note l'opérateur défini par
c'est-à-dire que
où est la fonction dérivée -ème.

Log-concavité des suites

Soit une suite à valeurs réelles. On dira qu'elle est
  • unimodulaire s'il existe tel que ;
  • log-concave si pour tout , on a ;
  • ultra log-concave si est log-concave.
    Montrer que la suite binomiale est log-concave.
    Montrer que si est ultra log-concave, alors elle est log-concave.
    3 - Montrer que si est strictement positive et log-concave, alors elle est unimodulaire.

Polynômes réels à racines toutes réelles

Soit avec . Il est dit à racines toutes réelles si toutes ses racines complexes sont en fait réelles, i.e. implique . On suppose dans cette question que est à racines toutes réelles.
Montrer que est à racines toutes réelles.
Indication : on pourra utiliser le théorème de Rolle en veillant aux multiplicités des racines.
5 - Montrer que est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on commencera par préciser le degré de .
Pour , on considère puis et enfin . Montrer que est un polynôme de degré au plus 2 à racines toutes réelles et en déduire que est ultra log-concave.
On considère comme précédemment un polynôme de degré à racines toutes réelles.
Soit . Montrer que est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on pourra à nouveau utiliser le théorème de Rolle en considérant en outre le comportement en .
8 - Soient et des polynômes réels à racines toutes réelles. Montrer que est un polynôme à racines toutes réelles.
Dans la question 27 , nous utiliserons le théorème de composition de Schur suivant, que nous admettons.
Théorème 1 Soient et des polynômes réels à racines toutes réelles. On suppose en outre que les racines de ont toutes le même signe. Alors le polynôme
est à racines toutes réelles.

Quelques exemples

Soit une matrice symétrique réelle de taille .
- Montrer que son polynôme caractéristique est à racines toutes réelles.
On suppose que toutes les racines de sont positives. Montrer l'existence d'une matrice symétrique telle que .
11 - Soit une matrice symétrique et on suppose comme dans la question précédente que les racines de sont positives. Montrer que les valeurs propres de sont toutes réelles.
On considère
Montrer que définit un produit scalaire sur .
Justifier (on ne demande pas de les calculer) qu'il existe une famille de vérifiant les propriétés suivantes :
  • les sont de degré ;
  • pour tout i.e. nul si et égal à 1 pour .
    Montrer que pour tout , le polynôme est à racines toutes réelles.
    Soit une suite de variables aléatoires de Bernouilli indépendantes de paramètres respectifs , i.e. et . Soit alors et soit
où .
15 - Montrer que est à racines toutes réelles.
Soit à coefficients positifs, i.e. pour tout . On suppose en outre que est à racines toutes réelles et que . Montrer alors qu'il existe des variables de Bernouilli indépendantes telles que pour tout , on a .

Théorème de Hermite-Sylvester

Soit de degré . On note les racines réelles distinctes de et ses racines complexes non réelles, où désigne le conjugué de . On note la multiplicité de et celle de et .
Pour tout , on introduit
On introduit les applications linéaires définies par
ainsi que
On notera aussi .
Montrer que est une famille libre.
Indication : on pourra utiliser les matrices de Vandermonde.
18 - Montrer que
s'écrit sous la forme .
19 Montrer que si est à racines toutes réelles, alors définie par , est à valeurs positives.
On suppose à présent et on écrit pour tout
Montrer que les applications linéaires suivantes sont -linéairement indépendantes :
21 - Conclure que est à racines toutes réelles si et seulement si est à valeurs positives sur .
Indication : on pourra utiliser, sans justification, l'existence d'un vecteur
qui annule toutes les formes linéaires de la question précédente sauf une au choix.

Suite multiplicative de Polya-Schur

Étant donnée une suite réelle , on considère l'opérateur défini par la formule
Une suite est dite multiplicative au sens de Polya-Schur si l'opérateur préserve l'ensemble des polynômes à racines toutes réelles, i.e. si a toutes ses racines réelles alors aussi.
Montrer que la suite définie par est multiplicative au sens de Polya-Schur.
23 - Montrer que si est multiplicative au sens de Polya-Schur alors pour tout , la suite l'est aussi.
Soit avec . On suppose que a toutes ses racines réelles : on les note . On rappelle que et on admet que de sorte que
Soit une suite non nulle, multiplicative au sens de Polya-Schur et on suppose qu'il existe tel que avec . Montrer que puis que pour tout .
Indication : on pourra utiliser les expressions de et , puis, pour , raisonner sur les racines de .
25 - On suppose que la suite multiplicative ne s'annule jamais. Montrer alors qu'elle est soit de signe constant, soit alternée.
Indication : on pourra utiliser encore l'expression de .

Théorème de Polya-Schur

On considère à présent une suite strictement positive, i.e. pour tout .
On suppose que est multiplicative au sens de Polya-Schur.
26 Montrer que a toutes ses racines réelles et négatives.
Réciproquement supposons que a toutes ses racines réelles négatives. On fait le changement de variable , de sorte que
a toutes ses racines réelles et négatives.
En utilisant le théorème 1, montrer que est multiplicative au sens de PolyaSchur.
On suppose que est multiplicative au sens de Polya-Schur.
Montrer que est -concave, i.e. pour tout .
- En déduire que la série entière a un rayon de convergence strictement positif.
En déduire que a un rayon de convergence infini et peut s'obtenir comme la limite uniforme sur tout intervalle fermé borné de , de polynômes à racines toutes réelles et négatives.
31 - Réciproquement montrer que si a un rayon de convergence infini et peut s'obtenir comme la limite uniforme, sur tout intervalle fermé borné de , de polynômes à racines toutes réelles et négatives, alors est multiplicative au sens de Polya-Schur.
Indication : pour cette question, toute tentative de réponse, partielle ou purement qualitative, sera considérée par le Jury.
Fin du problème
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