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Mines Mathématiques 2 PC 2020

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales à paramètresPolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Mines
Année
2020
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2020PC MathsMaths 2020
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Approximation par des exponentielles-polynômes

L'objectif du problème est d'établir, par des méthodes euclidiennes, des théorèmes d'approximation par des polynômes ou des exponentielles-polynômes de certaines fonctions définies sur ou sur .
Les parties I et II sont indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties I et II.
Étant donné un intervalle de , on appelle fonction polynomiale sur toute fonction de la forme , où est un entier naturel et des nombres réels.

I. Résultats préliminaires

I.1. Étude d'une série entière

Pour tout réel strictement positif, on pose
  1. Montrer que la fonction est bien définie, et à valeurs strictement positives.
  2. À l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera avec soin, montrer que pour tout .
Soit un réel strictement supérieur à -1 . Pour tout , on pose .
3) Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
4) Montrer que
On pourra effectuer une permutation des symboles et , que l'on justifiera soigneusement.

I.2. Projections orthogonales

Dans cette partie, désigne un -espace vectoriel, pas nécessairement de dimension finie, muni d'un produit scalaire . On note la norme associée à ce produit scalaire, définie par pour tout .
Soit un sous-espace vectoriel différent de et de dimension finie de .
5) Donner la définition de la projection orthogonale sur .
On fixe ( ) une base orthonormale de , et un vecteur de .
6) Montrer que .
7) Montrer enfin que

II. Polynômes de Laguerre

Dans toute cette partie, on fixe un réel , et on note l'ensemble des fonctions continues telles que l'intégrale est convergente.
8) Montrer que, pour tout .
9) En déduire que, si et sont deux éléments de , l'intégrale est convergente.
10) En déduire que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions continues de vers .
11) Montrer que toute fonction polynomiale sur est élément de .
Pour tout entier naturel , on définit les fonctions
et
où la notation désigne la dérivée d'ordre de (avec la convention ).
12) Calculer et .
13) Pour tout , montrer que la fonction est polynomiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
Dans la suite, on identifie à son unique prolongement continu à , qui est une fonction polynomiale sur . Cela permet de considérer comme un élément de , ce qu'on fera désormais.
Pour tout , on pose
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
Dans la suite, on note la norme associée à ce produit scalaire, définie par
  1. Soit un entier . Pour tout entier , établir que
et que
  1. Soit et deux entiers naturels. Montrer que
En déduire que la famille est orthogonale pour le produit scalaire .
17) Montrer que, pour tout (la fonction a été définie dans la partie I ).

III. Approximation

On conserve les hypothèses et notations de la partie II. Pour tout entier naturel , on définit la fonction
qui est élément de (on ne demande pas de le vérifier).
Pour tout , on note le sous-espace vectoriel de engendré par la famille finie , et on note la projection orthogonale de sur .
18) Soit . Montrer l'existence de la somme , et calculer sa valeur.
19) En déduire que, pour tout quand .
Dans la suite, on note le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions polynomiales.
20) Montrer que, pour tout et tout , il existe telle que .
Soit une fonction continue tendant vers 0 en . Il est facile de vérifier (ce n'est pas demandé) que .
21) Montrer que, pour tout , il existe un entier naturel ainsi que des réels tels que
On pourra utiliser la fonction
et le résultat admis suivant : si est une fonction continue, alors, pour tout , il existe une fonction polynomiale telle que pour tout .
22) Montrer que, pour tout , il existe telle que .
23) Soit une fonction continue, paire et nulle en dehors d'un segment [ ] ( ). Montrer que, pour tout , il existe une fonction polynomiale telle que
On pourra appliquer le résultat de la question 22) à la fonction et à un bien choisi.
On peut montrer que le résultat de la question 23) est en réalité valable pour toute fonction continue et de carré intégrable sur .
Fin du problème
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