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Mines Mathématiques 2 PC 2019

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Suites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
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Banque
Mines
Année
2019
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2019PC MathsMaths 2019
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Etude d'une série de fonctions
Le sujet est consacré à l'étude de quelques propriétés de dérivabilité de la fonction définie par

Notations

  • On note la partie entière d'un réel .
  • Soit une famille de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs. Dans le cas où les séries et sont toutes deux convergentes, on pose

I Préliminaires

On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du problème.
  1. Montrer que la fonction est bien définie et qu'elle est continue sur .
  2. Montrer que l'intégrale est convergente.
Dans la suite du problème, on admet que
Soit une fonction continue par morceaux et intégrable. On pose
  1. Montrer que la fonction est bien définie, et continue sur .

II Etude de la dérivabilité de en 0

Dans cette partie, on considère une fonction , continue et telle qu'il existe un réel tel que
On pose
  1. Justifier l'existence de pour tout .
On fixe , et on considère la fonction
  1. Montrer que
  1. Montrer que, pour tous et , on a
  1. En déduire que
  1. En déduire un équivalent de quand tend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonction est-elle dérivable en 0 ?

III Formule sommatoire de Poisson

Dans cette partie, on note l'espace vectoriel des fonctions continues et -périodiques de vers . Si est un élément de , on pose
On admet le résultat suivant, que l'on pourra utiliser sans démonstration dans toute cette partie : si et sont deux éléments de qui vérifient pour tout , alors .
On considère une fonction , continue et telle qu'il existe des réels strictement positifs et tels que
où la fonction a été définie à la question 3 . On pose également
  1. Montrer que la fonction est bien définie, -périodique et continue sur .
  2. Montrer que la fonction est bien définie, -périodique et continue sur .
  3. Montrer que .
En particulier, on a , soit :
  1. Montrer que, pour tout réel strictement positif , on a
Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson.

IV Etude de la dérivabilité de en

On considère la fonction définie par
  1. Montrer que est de classe sur . On pourra utiliser un développement en série entière.
  2. Etablir que quand , et que quand .
  3. Montrer que l'intégrale est convergente.
  4. Montrer que quand .
On pose à présent
  1. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu'il existe des nombres complexes et tels que
    quand par valeurs strictement positives.
    Préciser la valeur de , et exprimer en fonction de (l'intégrale a été définie à la question 15).
  2. Exprimer, pour en fonction de et de .
  3. Déduire de ce qui précède que la fonction est dérivable en , et préciser la valeur de .
Fin du problème
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