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Mines Mathématiques 2 PC 2015

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
Mines
Année
2015
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2015PC MathsMaths 2015
2025_08_29_5652d554ec9a7635088ag
ÉCOLES DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Suites de Lucas

Résultats admis

Dans tout ce qui suit, et l'on suppose que appartient à . Pour simplifier la rédaction, le candidat pourra utiliser la notation
Les suites de Fibonacci ( ) et de Lucas ( ) généralisées sont définies respectivement par
Pour tout entier naturel ,
Elles vérifient les propriétés admises suivantes pour tout entier :
a) I représente la matrice identité dans ,
b) est l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels,
c) représente une matrice non multiple de I et vérifiant ,
d) On note la matrice définie par I.
Comme d'habitude, représente la puissance -ième de la matrice . A tout moment, le candidat peut utiliser la formule admise suivante, dite «formule de Moivre », valable pour tout entier naturel :
L'objectif de ce problème est d'utiliser les propriétés des matrices pour en déduire des propriétés des suites de Fibonacci et Lucas.

I Préliminaires

  1. Calculer .
  2. Exhiber une infinité de matrices qui satisfassent ).
  3. Montrer que les matrices I et sont linéairement indépendantes sur .
Dans tout ce qui suit, désigne une matrice quelconque vérifiant .

II Formule de Moivre généralisée

  1. Trouver deux polynômes et de tels que
  1. En déduire que vérifie l'équation suivante :
  1. Montrer que est inversible et montrer que
  1. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour ,
  1. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif.

III Quelques identités remarquables

  1. Montrer l'identité suivante :
  1. Soit . Montrer que
  1. Montrer alors que pour tout entier ,
  1. En déduire, pour , les valeurs de
Pour , on introduit
On définit le polynôme de par
  1. Montrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Indication : on pourra utiliser la linéarité du déterminant par rapport à ses colonnes.
14. En déduire, pour , la valeur de
On pose, pour tout ,
On a aisément les propriétés admises suivantes :
  1. Montrer que, pour tout ,
  1. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout , pour tout ,
Une démarche similaire permet de démontrer les identités suivantes que l'on admettra.

IV Une touche de probabilités

Soit un entier impair et , on pose
  1. Montrer que la suite définit une probabilité.
Indication : on pourra chercher à exprimer en utilisant les questions 12, 13 et les identités (14).

Fin du problème

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