ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des nombres complexes, l'ensemble des réels, l'ensemble des réels non nuls, l'ensemble des réels strictement positifs et l'ensemble des réels strictement négatifs. On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers naturels non nuls, l'ensemble des entiers relatifs et l'ensemble des entiers relatifs non nuls.

On note l'ensemble des fonctions continues sur , à valeurs dans l'ensemble des fonctions bornées appartenant à et l'ensemble des fonctions appartenant à à valeurs dans .

On note la norme de la convergence uniforme sur si est continue et bornée sur .

Dans tout le problème la fonction est un élément de et la fonction un élément de .

Pour , on pose

Question 1 Montrer que la formule (1) définit une fonction continue sur et qu'elle se prolonge continûment à R. Déterminer .

On notera encore ce prolongement.
On note l'application qui à fait correspondre .
Question 2 Montrer que définit un endomorphisme de ; est-ce également un endomorphisme de ?
Question 3 Démontrer que est injectif.
On dit que est une valeur propre de sur , s'il existe non identiquement nulle telle que . La fonction est alors un vecteur propre associé à la valeur propre .

Question 4 Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la restrictions à d'un vecteur propre u de .
Question 5 Résoudre cette équation différentielle dans . Montrer que sa solution ne peut se prolonger par continuité en 0 que si .
Question 6 Dans le cas où est intégrable sur déterminer l'ensemble des valeurs propres de et les sous-espaces propres associés (on pourra distinguer le cas ).

On suppose désormais que est -périodique et que est -périodique, où et sont des réels strictement positifs.

Question 7 Montrer que tend vers quand .
Question 8 Montrer que admet un maximum et un minimum strictement positifs.

On suppose dans ce paragraphe que est rationnel.
Question 9 Déterminer tel que pour tout ,

On note l'application partie entière de dans , et pour ,

Question 10 Représenter graphiquement la fonction pour .
Question 11 Déterminer où . Démontrer que

pour .
Question 12 Montrer que .
Question 13 Démontrer que, pour

Question 14 En déduire que et possède une limite lorsque tend vers et en donner une expression. Qu'en est-il lorsque tend vers ?

On suppose dans ce paragraphe que est irrationnel.
Pour , on note .

Question 15 Pour , on pose où . Démontrer que admet un minimum non nul.
Question 16 On pose où . Démontrer que admet un minimum non nul.

On suppose à présent que est non seulement continue, mais de classe par morceaux

Question 17 Démontrer qu'il existe des nombres complexes , où , tels que converge et tels que pour tout ,

Question 18 Soit , où les appartiennent à , montrer qu'il existe tel que

On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction continue, -périodique et tout , il existe un polynôme trigonométrique , soit

tel que .
Question 19 En déduire que tend vers une limite lorsque , et en donner une expression.