ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des nombres complexes, l'ensemble des nombres entiers, l'ensemble des nombres réels, et l'ensemble des nombres réels positifs. On note la partie réelle du nombre complexe .
(H1) On dit que la fonction vérifie l'hypothèse (H1) si elle possède un développement en série entière au voisinage de l'origine, de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .

Soit une série entière, où ainsi que les coefficients sont complexes. On pose

On suppose désormais que la fonction vérifie l'hypothèse (H1).
Soit .
Question 1 Déterminer les coefficients de Fourier de et en fonction de et des .

Question 2 En fonction du signe de , en déduire les différentes expressions de

On suppose que, outre (H1), la fonction vérifie l'hypothèse suivante:
(H2) le coefficient du développement en série entière de est réel, positif ou nul.

Question 3 Montrer que

On pose , et on choisit .
Question 4 Montrer que

On choisit maintenant
Question 5 Déterminer le signe de . Montrer que

(H3) On dit que la fonction vérifie l'hypothèse (H3) si, , .
Question 6 En admettant que h vérifie les hypothèses (H1), (H2) et (H3), montrer que , dès que .

On considère maintenant la fonction , vérifiant l'hypothèse (H1) ainsi que
(H4) .
Question 7 A l'aide du résultat de la question 6 montrer que

La valeur constitue le rayon de Bohr de la série .
On considère maintenant le cas particulier de la fonction donnée par

où .
Question 8 Sous quelles conditions relatives à , la fonction vérifie-t-elle les hypothèses (H1) et (H4) ?

En admettant que vérifie ces conditions, on note les coefficients du développement en série entière de .

Question 9 Déterminer en fonction de les valeurs de telles que .
Question 10 Démontrer que si , alors il existe tel que .
Question 11 En déduire que la constante obtenue à la question 7 ne peut être améliorée sans hypothèse supplémentaire sur .

Nous venons de démontrer que, sous les hypothèses (H1) et (H4) l'estimation (4) est optimale. Dans ce paragraphe on établit une estimation plus générale, valable au-delà du rayon de Bohr .
Question 12 Montrer que si et vérifient (H1), où

alors

On pose

sous réserve que cette dernière quantité soit finie.
L'ensemble des fonctions de qui vérifient (H1) et (H4) et, par souci de simplification, dont les coefficients du développement en série entière sont réels est noté .

On suppose désormais que .
Question 13 En s'aidant de la question 12, montrer que .
On admettra que est une norme sur l'espace vectoriel .
On note l'espace vectoriel des fonctions de la variable complexe de la forme où et appartiennent à .

On note , l'application qui à vérifiant ( ) et dont les coefficients sont réels, fait correspondre la fonction définie par .

On note l'application qui à fait correspondre la fonction ; on rappelle que le produit de Cauchy de deux séries entières de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 est une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .

Question 14 Démontrer que pour tout et en déduire que .

On note la bijection de dans , qui à définie par fait correspondre le vecteur .

Question 15 Déterminer la matrice de l'application linéaire qui à fait correspondre où .

On munit de la norme euclidienne : , dérivant du produit scalaire , où et .

Question 16 Montrer que pour tout , et pour tout .
On dit que la matrice est positive si et seulement si pour tout . On note II la matrice identité.

Question 17 Déduire de la question 14 que est positive. En déduire que et que les valeurs propres de sont positives ou nulles.
Question 18 En déduire que . On pourra s'aider du calcul du déterminant de .

Pour , on pose

Question 19 Montrer que

Question 20 Déterminer M ( ) pour .
On pose

Question 21 Montrer que ,

En déduire à l'aide de la question 13 que