ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2012

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans ce texte on note l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, l'ensemble des nombres entiers strictement positifs et l'ensemble des entiers relatifs.

Le problème est consacré à l'équation de la chaleur monodimensionnelle; la fonction inconnue définie dans le domaine à valeurs réelles est supposée continue, et de plus indéfiniment dérivable par rapport à sur et par rapport à sur . L'inconnue est solution du système d'équations suivant :

où désigne une fonction définie sur l'intervalle . Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction définie par

La variable est la variable d'espace, est la variable temporelle.

On cherche ici à déterminer les valeurs de (valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire

Question 1 Montrer que si est solution de (5)-(6) alors elle est de classe sur , et que

en déduire que si n'est pas identiquement nulle, alors .
Question 2 Pour , déterminer l'ensemble des solutions de (5). En déduire que le système d'équations (5)-(6) n'a pas d'autre solution que la solution nulle.
Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si tel que . Pour fixé, déterminer la dimension de l'espace des solutions et en expliciter une base.

On note la fonction égale à sur , impaire et prolongée par -périodicité à tout entier.

Question 4 Tracer la courbe représentative de sur et en préciser le tableau de variation.

On note (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée sur chaque intervalle de la forme et prolongée par continuité sur chaque intervalle .

Question 5 Dessiner le graphe de la fonction .
Soit une fonction , continue par morceaux et périodique de période ; on pose

Question 6 Démontrer que inc .

Question 7 Calculer , en déduire que

et donner l'expression de la série de Fourier de en fonction des .
Question 8 En déduire que la série de Fourier de converge normalement.

Pour tout , on définit la fonction sur le domaine par

et on note la somme de la série de fonctions , c'est-à-dire sous réserve de la convergence,

Question 9 Montrer que pour tout est continue sur , indéfiniment dérivable par rapport à sur et par rapport à sur , et vérifie (1).
Question 10 Montrer que la série de fonctions est convergente sur et que la somme définit une fonction continue sur .
Question 11 La série

converge-t-elle?.
Question 12 Soit , montrer que la série de fonctions converge normalement sur . En déduire que la somme u définie selon (10) admet une dérivée partielle par rapport à sur et que

Question 13 La série de fonctions converge-t-elle normalement sur ? Justifiez votre réponse.

On admettra dans la suite (raisonnement analogue) que admet des dérivées partielles de tous ordres sur et qu'elles s'obtiennent par dérivation sous le signe somme.

Question 14 Montrer que u est solution de (1)-(2)-(3).

Soit une fonction continue sur et indéfiniment dérivable sur .
Question 15 Quel est le signe de et si atteint son maximum en ? Justifiez votre réponse.

On définit la dérivée à gauche de en selon la formule

si la limite existe.
Question 16 Quel est le signe de si h admet en une dérivée à gauche et atteint son maximum?

On choisit et on note

Soit , on définit la fonction par où est une solution de (1)-(2)-(3).

Question 17 Montrer que ne peut atteindre son maximum sur en aucun point de .

Notons .
Question 18 Déduire de ce qui précède que u atteint son maximum sur .
Question 19 Conclure que la solution de (1)-(2)-(3) est unique.
Si est une solution de (1)-(2)-(3) on pose

Question 20 Démontrer que . En déduire par un autre raisonnement l'unicité de la solution de (1)-(2)-(3).