ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2011

Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On désigne par l'ensemble des entiers naturels et par l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.

Soit et . On note l'ensemble des fonctions de classe sur à valeurs dans . Pour chaque fonction , on notera la dérivée première de au point et sa dérivée seconde.

On désignera l'ensemble des fonctions continues qui sont -périodiques ; . Pour on posera:

On désigne par le produit scalaire euclidien canonique de . On identifiera chaque vecteur de à un vecteur colonne, encore noté , de . On considère deux matrices et de symétriques d'ordre à coefficients réels. On suppose que pour tout vecteur colonne non nul de on a :

Q1 - Prouver que la matrice symétrique réelle est inversible. (On pourra considérer le noyau de l'application ).
Q2 - Prouver que . En déduire que la matrice est symétrique.

Pour , on pose: . On désigne par l'endomorphisme de l'espace vectoriel défini par .
Q3 - Prouver que définit un produit scalaire de . Puis montrer que

Q4 - Montrer qu'il existe une base de et réels strictement positifs tels que

On considère l'équation différentielle :

de fonction inconnue .

Q5 - Montrer que est solution de l'équation différentielle (1) si et seulement si il existe nombres réels tels que :

En déduire que l'ensemble des solutions de (1) est un espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension.
Q6 - Soient . Prouver que

Q7 - Soit une solution de l'équation différentielle (1). Pour chaque réel on pose, et . Montrer alors que la quantité ne dépend pas de .

Les solutions de (1) interviennent en physique ; l'objet de la partie III est d'étudier leur comportement quand dans le cas . Les quantités et représentent respectivement une énergie cinétique et une énergie potentielle.

Soit . On désigne par le réel positif tel que : , et pour tout réel on pose .
Calculer . En déduire que .
Soit . On pose : . Prouver alors que

Q10 - Soit , et . Prouver que pour toute qui est de classe sur et tout réel , on a :

(On rappelle que et que est défini au début de l'énoncé. Pour établir l'inégalité, on pourra utiliser que lorsque ).

Dans toute la suite on se limite au cas de la partie I.
Q11 - Soit une solution de l'équation (1). Montrer qu'il existe quatre réels tels que:

(On rappelle que les deux vecteurs sont introduits dans la Question 4 ).
Dans la suite on fixe deux réels et on pose:

Jusqu'à la fin de l'énoncé, on suppose que n'est pas un nombre rationnel. On suppose donc qu'il n'existe pas d'entiers naturels tels que .

On désigne par l'ensemble des fonctions continues telles que :

On désigne par l'ensemble des fonctions telles que les deux dérivées partielles existent en tout point de et définissent toutes deux des fonctions continues sur .
Q12 - Soit . Prouver que

En déduire que est majorée sur et atteint sa borne supérieure.
Avec les notations de la question précédente, on posera .
Soit . On sait que est continue sur . On pose alors :

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant :
Théorème 1. (Théorème Ergodique) Soit . Alors,

(On rappelle que est défini dans (3) et que n'est pas un nombre rationnel).
Q13 - Soit . Prouver le Théorème Ergodique dans le cas particulier de la fonction . (Dans le cas où on pourra vérifier que est non nul puis on pourra calculer séparément chaque membre de (4) dans ce cas particulier).

Dans les trois questions suivantes on fixe un élément quelconque . Pour chaque on pose :

Q14 - Soit . Prouver qu'il existe nombres complexes tels que pour tout . Justifier que la fonction vérifie le Théorème Ergodique.
Q15 - Soit et . En écrivant comme somme de deux termes et en appliquant la Question 10, prouver que pour tout :

On rappelle que est défini juste après la Question 12.
Q16 - Prouver le Théorème Ergodique pour la fonction . (On pourra poser . Pour donné, on pourra choisir tel que . Ensuite, on pourra appliquer la Question 14 à et considérer tel que pour tout :

Soient tels que . On désigne par la fonction continue -périodique définie comme suit. La fonction est nulle sur et . Pour tout .

On rappelle que tout ouvert non vide de contient un pavé de la forme où et .
Q17 - On considère la solution de (1) obtenue en prenant dans (2). Soit un ouvert non vide de . Prouver qu'il existe tel que . (On pourra raisonner par l'absurde et justifier alors l'existence d'une fonction du type telle que est nulle pour tout .

Le Théorème 1 dit que la moyenne temporelle de la grandeur physique coincide avec la moyenne spatiale de . Il s'agit de l'hypothèse ergodique du physicien Boltzmann. La Question 17 est alors une illustration du fait que toute trajectoire du système (hamiltonien) ergodique rencontre tout ouvert de l'espace des phases.