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Mines Mathématiques 2 PC 2010

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Polynômes et fractionsAlgèbre généraleRéductionAlgèbre linéaireGéométrie
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Mines
Année
2010
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2010PC MathsMaths 2010
2025_08_29_d7589238e7987dd59600g
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Théorème de Rolle dans le cas complexe .

Dans ce problème on se propose de prouver l'analogue complexe suivant du théorème de Rolle :
Théorème 1. Soient et deux nombres complexes distincts et un entier . Soit un polynôme de degré tel que . Le polynôme dérivé de possède alors au moins un zéro ie ) dans le disque
où
Soit , le polynôme dérivé de , est donné par :
Pour désigne le coefficient binomial .

A. Définition de .

On note l'espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à . Soit et . On définit le polynôme par la formule :
Cette définition de dépend donc de l'espace de départ .
  1. Vérifier que définit une application linéaire de vers .
  2. Soient et . Prouver que:
où dans la composition (du membre de gauche), est vu comme application de vers et est vu comme application de vers . Pareillement, dans la composition
(du membre de droite), est vu comme application de vers et est vu comme application de vers .
3) Pour , déterminer l'ensemble des tels que soit le polynôme nul. (On pourra utiliser la famille formée par les polynômes . Déterminer alors l'image de l'application
  1. Soit . Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de l'endomorphisme de défini par :
Montrer que est diagonalisable.
5) On conserve les notations de la question précédente. Soit un endomorphisme de commutant avec . Montrer qu'il existe tel que . (On pourra utiliser un polynôme associé à une interpolation de Lagrange convenable).

B. Définition de .

On considère la bijection :
On se place dans le plan euclidien identifié à . On désignera par un cercle (de centre et de rayon non nul) de :
On notera respectivement et l'intérieur géométrique et l'extérieur géométrique de . Plus précisément :
  1. Soit un cercle de centre et de rayon tel que l'origine 0 appartient à . On pose où et . Prouver que est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de . Vérifier en outre que l'origine 0 appartient à . (On pourra partir de
  1. On conserve les hypothèses et notations de la question précédente. Prouver que . C'est à dire que transforme l'intérieur du cercle en la totalité de l'intérieur du cercle (on pourra utiliser le fait admis suivant. Un point de appartient à si et seulement si la demi-droite issue de 0 et passant par rencontre en deux points distincts tels que appartient au segment ouvert . On pourra alors considérer .
Soient , non nécessairement deux à deux distincts.
Soit tel que est non nul. On considère alors le nombre complexe défini par
  1. Soit un cercle tel que . Montrer que si l'origine 0 appartient à alors est bien défini et appartient à (on pourra commencer par prouver que appartient à ).
  2. Soit un cercle tel que . Montrer que si alors est bien défini et appartient à .

C. Condition d'apolarité.

Dans cette partie, désigneront nombres complexes non nécessairement deux à deux distincts.
10) Soit un polynôme de et
Exprimer en fonction des . En déduire que si est non nul alors
où est défini par (1).
11) Soit et .
Montrer que l'ensemble des zéros de est la réunion des deux ensembles suivants :
.
, où est défini par (1).
12) On conserve les notations de la question précédente. Montrer que
si et seulement si le degré de est strictement inférieur à .
13) On considère le polynôme et . On suppose qu'il existe un cercle tel que et . Prouver alors que est exactement de degré . Puis prouver que les zéros de (en comptant les multiplicités) appartiennent tous à (on pourra utiliser les questions 9 et 11).
On considère deux polynômes de de degré ,
où et désignent respectivement les zéros de et .
On dira que est apolaire par rapport à si . Quand on écrit dans cet ordre on utilise la convention décrite dans la question 2. Plus précisément, est vu comme application de vers est vu comme application de vers est vu comme application de vers C. Ainsi est une constante.
14) On suppose que est apolaire par rapport à . Montrer que si est un cercle tel que alors il existe tel que (on utilisera la question précédente).
Dans la suite, on fixe deux points distincts de .
15) Montrer qu'il existe que l'on calculera, tels que pour tout polynôme du type
on ait
Avec les notations de la question précédente, on fixe un entier supérieur ou égal à deux et on pose
  1. Montrer que où est une constante non nulle que l'on calculera.
Soit de degré tel que . On écrit
On désigne par les zéros (comptés avec multiplicité) de . On admet que la constante est égale à :
  1. Montrer que est apolaire par rapport à (on pourra utiliser la question 15). En déduire alors le Théorème 1 (on pourra appliquer la question 14).

Fin du problème

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