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Mines Mathématiques 2 PC 2008

Stabilité d'un polynôme trigonométrique

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
Mines
Année
2008
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2008PC MathsMaths 2008
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Stabilité d'un polynôme trigonométrique

Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la variable réelle de la forme
où les sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On appelle degré de , noté , le plus petit entier tel que pour tout .
On désigne par l'ensemble des polynômes trigonométriques; on tiendra pour acquis que est un -espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions.
Pour un nombre complexe représente sa partie réelle et sa partie imaginaire.

I Stabilité d'un polynôme trigonométrique

  1. Montrer que l'on définit une norme sur en posant
pour tout .
2. Soit , établir pour tout entier de , l'identité
  1. Montrer que pour tout , on a
Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la suite des normes de ses puissances successives est bornée quand décrit .
4. Montrer que s'il existe tel que alors n'est pas stable.
Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition pour tout réel n'est pas suffisante pour que soit stable.

II Un polynôme trigonométrique particulier

Dorénavant, désigne une constante réelle telle que et désigne le polynôme trigonométrique
Pour tout entier , on note les nombres complexes tels que la puissance -ième de s'écrive
  1. Établir, pour tout réel , l'identité
En déduire que vérifie les propriétés et pour tout appartenant à .
6. Donner les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions et définies par
  1. En déduire que l'on a, au voisinage de 0 , la relation suivante :
Il existe donc trois réels et strictement positifs et une fonction , tendant vers 0 quand tend vers 0 tels que l'on ait, pour tout dans un voisinage de 0 ,
On admet que la fonction est définie et de classe sur . Dans toute la suite, on posera
de sorte que et .

III Majoration des coefficients de

Soit un segment de longueur non nulle de , soit une fonction de classe sur à valeurs réelles. On suppose qu'il existe tel que pour tout et que de plus pour tout .
8. Montrer l'inégalité
  1. En intégrant par parties l'intégrale
établir que
Dans les question 10 à désigne un segment de longueur non nulle de et une fonction de classe sur , à valeurs réelles. On suppose cette fois que pour tout appartenant à .
10. On suppose que . Établir, sur , l'inégalité suivante
  1. En déduire que
On admettra que le résultat est identique lorsque .
12. On suppose que . Montrer qu'il existe un unique réel de tel que . En déduire que
Dans les questions 13 et désigne un nombre réel, un entier naturel non nul et la fonction définie par
où est le nombre réel non nul défini après la question 7 .
13. Montrer, pour tout appartenant à , l'inégalité :
  1. En déduire qu'il existe une constante , indépendante de et , telle que pour tout de on ait la relation
On admet que l'on peut démontrer de la même manière qu'il existe une constante , indépendante de et , telle que pour tout de on ait la relation suivante :
  1. Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout de , on ait
  1. Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout de , on ait
  1. À l'aide d'une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu'il existe une constante indépendante de et de telle que pour tout entier non nul et pour tout entier relatif , on ait l'inégalité :
  1. En déduire qu'il existe une constante indépendante de et telle que pour tout et pour tout , on ait l'inégalité
On admet dorénavant l'existence d'une constante telle que, pour tout entier non nul,
  1. Montrer qu'il existe tel que, pour tout entier ,
c'est-à-dire que n'est pas stable !

Fin du problème

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