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Mines Mathématiques 2 PC 2007
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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales à paramètres
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Étude d'une série trigonométrique
On rappelle que pour tout réel
Par ailleurs, pour tout réel
On pose, pour tout réel
L'objectif de ce problème est d'étudier différentes propriétés de cette fonction. Dans tout le problème, u représente un réel de
I Deux représentations de
- 1 - Prouver que pour tout
, la fonction est continue sur . - 2 - Étudier, en fonction du paramètre
, l'intégrabilité sur , de la fonction
Soit
- 3 - Simplifier l'expression de
, en l'écrivant sous forme d'une fraction. - 4 - Prouver que pour tout
,
- 5 - Exprimer, en fonction de
, la constante telle que pour tout ,
- 6 - On admet que l'identité (2) reste vraie aussi pour
où .
En déduire pour
- 7 - Montrer, pour tout
, pour tout [, l'égalité suivante:
- 8 - Établir, pour tout
[, l'identité
- 9 - Pour
, exprimer en fonction de fonctions trigonométriques et de où
avec
II Comportement asymptotique
Soit
- 10 - Prouver que pour tout
, il existe tel que, pour tout ,
- 11 - Prouver que pour tout
, il existe une constante ( que vous exprimerez sous la forme d'une intégrale indépendante de ) telle que pour tout
- 12 - Prouver que, sous ces hypothèses,
- 13 - Montrer que pour tout entier
, on peut écrire
où
On pose dorénavant, pour tout
- 14 - Donner un équivalent de la fonction
au voisinage de . - 15 - Déterminer la limite de
quand tend vers l'infini.