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Mines Mathématiques 2 PC 2005

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionAlgèbre généraleIntégrales à paramètres
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Banque
Mines
Année
2005
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2005PC MathsMaths 2005
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE

Filière PC
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racine carrée d'endomorphisme

Pour toute fonction continue intégrable sur , on considère , dite transformée de Fourier de , définie sur par:
D'après le théorème de convergence dominée, on sait que est continue et on admet que si, de plus, est intégrable alors l'égalité suivante est vérifiée pour tout réel :
On note , l'ensemble, appelé espace de Schwartz, des fonctions définies sur à valeurs complexes, de classe sur et telles que pour tous les entiers et , la fonction soit négligeable devant la fonction quand tend vers l'infini : pour tout et tout entiers,

On admet que la transformation de Fourier est une bijection de dans lui-même.

Soient un intervalle de et un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions définies et indéfiniment dérivables sur , à valeurs réelles ou complexes. On appelle dérivation dans l'application qui à tout de associe sa dérivée . On suppose que est un endomorphisme de l'espace vectoriel . L'objet du problème est de chercher s'il existe un endomorphisme de tel que : on dira alors que est une racine carrée de .

I. Préliminaires

On suppose, dans cette partie seulement, que existe.
  1. Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre le noyau de et le noyau de ?
  2. Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre l'image de et l'image de ?
  3. Montrer que est un automorphisme de si et seulement si est un automorphisme de .
  4. Montrer que tout sous-espace propre de est stable par .

II. Dimension finie

On désigne par le -espace vectoriel des fonctions définies sur , à valeurs réelles, dont une base est ( ).
5) Montrer que la dérivation dans est un automorphisme de .
6) Écrire la matrice de dans la base ( ). Montrer que est diagonalisable dans .
7) Qu'est-ce que cela implique pour ?
8) Pour diagonaliser , prenons la matrice de passage
Quelles sont les valeurs possibles de la matrice de dans cette base?
9) Déterminer, par leur matrice dans la base ( ), tous les automorphismes du -espace vectoriel dont le carré est égal à .

III. Espace de Schwartz

Désormais, on considère l'espace vectoriel défini dans l'introduction. Dans ce qui suit, on considère un élément donné de . Pour tout nombre réel , on note
On définit la fonction par:
  1. À quelle condition sur le réel , la fonction définie sur par:
appartient-elle à ?
11) Soit un entier naturel. Donner l'expression de la transformée de Fourier, , de la dérivée -ième de en fonction de la transformée de Fourier de .
12) Montrer que est définie et indéfiniment dérivable sur .
13) Désormais, on suppose de plus que est nulle en-dehors d'un segment , où est un réel strictement positif, et que est d'intégrale nulle sur , autrement dit telle que .
Montrer que la transformée de Fourier de est développable en série entière au voisinage de l'origine, et donner une expression des coefficients tels que
  1. Montrer qu'il existe une fonction définie et indéfiniment dérivable sur telle que, pour tout réel , on ait .
  2. Démontrer que pour tout réel non nul , l'identité suivante est satisfaite:
  1. Montrer que est intégrable sur .
  2. Pour , on note la fonction définie sur , par . Comparer et .
  3. Montrer que est intégrable sur .
  4. Montrer que .
  5. Montrer que si n'est pas la fonction nulle, il n'existe aucun segment en dehors duquel est nulle.

FIN DU PROBLÈME

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