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Mines Mathématiques 2 PC 2004

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Intégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Polynômes et fractions
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Banque
Mines
Année
2004
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2004PC MathsMaths 2004
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A 2004 Math PC 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème l'entier est strictement positif ( ); l'expression désigne le nombre des parties ayant éléments d'un ensemble de éléments. Autre notation :

Première partie

Soit et les suites de polynômes définies par les relations suivantes :
Intégrale de la fonction sur le segment :
  1. Etant donnés un réel strictement positif et un entier naturel , démontrer l'existence de l'intégrale définie ci-dessous et la calculer :
  1. Déduire du résultat précédent la valeur de l'intégrale de la fonction , étendue au segment , en fonction du coefficient du binôme :
Polynômes :
3. Déterminer le degré du polynôme et préciser le coefficient de son terme de plus haut degré.
4. Déterminer de deux manières différentes le polynôme : la première, par dérivation de l'expression de obtenue après développement; la seconde, par dérivation du produit ; le résultat sera exprimé en fonction d'expressions du type .
5. En déduire la relation :

Deuxième partie

Étant donnés deux réels et , strictement positifs ( ), soit l'intégrale suivante :
Intégrale :
6. Étudier l'existence de l'intégrale .
7. Démontrer que l'intégrale est égale à la somme de la série de terme général , :
  1. En déduire la somme de la série suivante :
Étant donné un réel strictement compris entre -1 et , soit la fonction définie sur l'intervalle ouvert par la relation suivante :
  1. Démontrer que la fonction est intégrable sur l'intervalle ouvert .
Soit l'intégrale de la fonction étendue à l'intervalle :
  1. Démontrer, pour tout réel appartenant à l'intervalle ouvert , la relation suivante :
  1. Déterminer, en admettant le résultat suivant
le développement en série entière de la fonction dans un voisinage de l'origine. Préciser le rayon de convergence.
12. Exprimer, pour tout entier strictement positif, la valeur de l'intégrale ci-dessous en fonction du coefficient du binôme :

Troisième partie

Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :
Soit la fonction définie sur l'intervalle ouvert , par la relation suivante :

Développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 :

  1. Déterminer le développement en série entière de la fonction dans un voisinage de l'origine 0 . Préciser le rayon de convergence de la série entière. Déterminer des coefficients , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante :
Développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 :
14. Établir que la fonction vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre.
15. En déduire le développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 . Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
16. Établir, lorsque le réel appartient à l'intervalle ouvert de convergence de la série entière, l'expression ci-dessous de :
  1. Déduire des résultats précédents la somme de la série suivante :
Soit la fonction définie sur l'intervalle ouvert par la relation suivante :
  1. Démontrer que la fonction est développable en série entière dans un voisinage de 0 ; déterminer des coefficients , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante :
  1. Déduire des deux dernières questions la somme de chacune des séries de termes généraux , , et , définis respectivement par les relations suivantes :

Quatrième partie

Le but de cette partie est de montrer que, plus généralement, étant donnés une fonction , définie et continue sur le segment , et un réel strictement positif, il existe des coefficients , , permettant d'écrire la relation suivante :
Étant donné un réel strictement positif ( ), soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :

Développement de la fonction en série entière:

  1. Déterminer le développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 ; préciser le rayon de convergence. Soit , le terme général de la série entière obtenue. Démontrer que les coefficients , sont strictement positifs.

L'intégrale est égale à la somme d'une série.

  1. La fonction étant une fonction définie et continue sur le segment , étudier, lorsque le réel est strictement compris entre 0 et , l'existence de l'intégrale :
  1. Démontrer, lorsque le réel est strictement compris entre 0 et , la relation suivante
  1. Application : démontrer que le coefficient du binôme est égal à la somme d'une série dont le terme général dépend de coefficients ; choisir, par exemple, la fonction et le réel définis par les relations suivantes :

FIN DU PROBLÈME

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