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Mines Mathématiques 2 PC 2000

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Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Banque
Mines
Année
2000
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2000PC MathsMaths 2000
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURDS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVEFILIÈRE PC(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC , comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de certaines équations différentielles du type suivant :
(E)

Première partie

L’objet de cette partie est l’étude de l’équation différentielle :
( )

I.1. Caractérisation d'une solution périodique :

Démontrer qu'une fonction , définie sur toute la droite réelle, solution de l'équation différentielle ( ), est -périodique si et seulement si elle prend, ainsi que sa dérivée , mêmes valeurs en 0 et en :

I.2. Construction d'une solution périodique :

Soit une fonction -périodique solution de l'équation différentielle ( ) ; soit , ses coefficients de Fourier.
a. Démontrer que la fonction est la somme de sa série de Fourier, c'est-à-dire que, pour tout
réel ,
b. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction dérivée seconde de en fonction de ceux de . En déduire, à l'aide de l'équation différentielle, la relation de récurrence qui lie à .
c. Préciser la valeur du coefficient de Fourier ; en déduire la valeur de tous les coefficients de Fourier de rang strictement négatif. Calculer les coefficients de Fourier de rang positif en fonction de . En déduire l'expression de la fonction .

I.3. Inégalité vérifiée par la fonction et sa dérivée :

a. Soit un réel strictement positif ; établir une majoration du module des deux nombres complexes et , définis ci-dessous par les relations :
en fonction de la norme de la convergence uniforme de la fonction .
b. Déduire des deux inégalités obtenues la relation :

Deuxième partie

Soit la suite des fonctions définies sur la droite réelle par la relation suivante :
Soit la fonction somme de la série entière de terme général , définie dans l'intervalle de convergence de cette série par la relation suivante :
Le but de cette partie est l'étude de la fonction .

II.1. Rayon de convergence :

Déterminer le rayon de convergence de la série de terme général .

II.2. Signe de la fonction :

Quelle est le signe de la fonction dérivée , sur le segment ? En déduire qu'il existe un réel tel que la fonction est positive sur l'intervalle semi-ouvert [ [ et négative sur l'intervalle semi-ouvert . Démontrer l'inégalité (prendre ).

Troisième partie

Le but de cette partie est d'étudier les zéros des solutions de l'équation différentielle suivante :
( )
Dans toute cette partie désigne une solution réelle de l'équation différentielle ( ).

III.1. Zéros de la fonction :

a. Préciser la fonction lorsqu'il existe un réel tel que la fonction et sa dérivée sont nulles en ce point .
b. Soient et deux réels ( ), z une solution réelle de l'équation différentielle suivante :
(F)
La fonction z est supposée s'annuler en deux points et de l'intervalle ( ) et être strictement positive sur l'intervalle ouvert [. Soit une solution de l'équation différentielle ( ).
Soit l'hypothèse: "la fonction est strictement positive sur l'intervalle ".
Soit la fonction définie sur l'intervalle par la relation suivante :
Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle ; en déduire que l'hypothèse formulée ci-dessus est fausse.
En conclure que, pour toute solution réelle de l'équation différentielle , entre deux zéros consécutifs de la fonction se trouve au moins un zéro de la fonction .
c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel , toute solution réelle de l'équation différentielle a au moins un zéro dans l'intervalle

III.2. Espacement des zéros de la fonction :

Soit une solution réelle de l'équation différentielle , différente de la solution nulle.
a. Soit un zéro de la fonction ; démontrer qu'il existe un intervalle ouvert , où est un réel strictement positif sur lequel la fonction n'est pas nulle.
b. Soient deux zéros consécutifs et de la fonction . Démontrer, en considérant une solution réelle de l'équation différentielle suivante :
(G)
que les réels et vérifient l'inégalité suivante :

Quatrième partie

L'objet de cette partie est de construire une fonction solution de l'équation différentielle . Soit , une suite de fonctions définies sur la droite réelle par la relation :
Lorsque la série de fonctions de terme général est convergente, soit la fonction somme de cette série :

IV. 1 La fonction est solution de l'équation différentielle :

a. Etablir que, pour tout réel , la série de terme général est uniformément convergente sur la demi-droite .
b. Démontrer que la fonction est une solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle.

IV.2. Zéros de la fonction :

Démontrer, en utilisant des résultats des deuxième et troisième parties, que les zéros de la fonction constituent une suite monotone croissante , de réels :
telle que :

Cinquième partie

Le but de cette partie est d'établir des majorations des fonctions solutions de l'équation différentielle :

V.1.Une inégalité :

Soient un réel strictement positif ( ) et un réel. Soient et deux fonctions positives, définies et continues sur la demi-droite , telles que, pour tout réel de la demi-droite [ [, l'inégalité ci-dessous ait lieu :
Etablir, en considérant par exemple la fonction , définie sur la demi-droite par la relation :
la propriété :
Dans la suite le réel est strictement positif ( ) ; soit une fonction réelle, définie et
continue sur la demi-droite [ [, vérifiant l'équation différentielle ( ) :
où est une fonction réelle, définie et continue sur la demi-droite , telle que la fonction est intégrable sur la demi-droite . (l'intégrale existe).
V.2. Majoration de la fonction :
a. Déterminer une fonction affine , définie sur la demi-droite , telle que, pour tout réel de cette demi-droite, la relation ci-dessous ait lieu :
b. Démontrer que la fonction définie par la relation
est bornée lorsque le réel croît vers l'infini. C'est-à-dire : il existe deux réels strictement positifs et tels que, pour tout supérieur ou égal à , il vienne : .
V.3. Limites de et de :
Démontrer, en utilisant les résultats précédents que la fonction dérivée a une limite lorsque le réel croît vers l'infini ; soit cette limite :
b. En déduire que l'expression a pour limite lorsque le réel croît vers l'infini.
FIN DU PROBLEME
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