Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le sujet, le corps sera ou , et est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On note une norme sur l'espace vectoriel , vérifiant les propriétés

On rappelle que l'exponentielle d'une matrice de est la matrice, notée , ou bien , définie par

On rappelle que, pour tout , l'application

est de classe sur , avec

On admettra que, si et sont deux matrices semblables de , plus précisément si on a avec , alors

Si et sont deux matrices de , on définit leur crochet de Lie par

La partie 4 du problème est indépendante des parties 2 et 3 .

On se donne deux matrices et dans . On suppose dans les questions 1) et 2) que et commutent.
Montrer que les matrices et commutent.

On définit une application

- Montrer que l'application , et l'application définie en préambule, sont solutions d'un même problème de Cauchy. En déduire une démonstration de la relation

Réciproquement, on suppose la relation (1) satisfaite. En dérivant deux fois cette relation par rapport à la variable réelle , montrer que les matrices et commutent.
Pour toute matrice , prouver la relation .
5 Montrer que .

Dans cette partie, on note et deux matrices quelconques de . L'objectif est de prouver la relation

Pour tout entier naturel non nul, on pose

Prouver les majorations

On introduit la fonction

Montrer que

8 - Vérifier la relation

En déduire la relation (2).

Dans cette partie, . Pour tout entier naturel, , on introduit l'ensemble, dit groupe spécial linéaire :

Si est un sous-groupe fermé de , on introduit son algèbre de Lie :

L'ensemble , ainsi que le groupe orthogonal , sont bien des sousgroupes fermés de . On ne demande pas de le démontrer.
Déterminer lorsque .
Si , montrer que , ensemble des matrices antisymétriques.

Dans les questions 11) à 14), est un sous-groupe fermé quelconque de .
En utilisant la partie 2, montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Soient et . Montrer que l'application

est à valeurs dans .
En déduire que est stable par le crochet de Lie, i.e.

On rappelle que, si est une matrice de , on dit que est tangente à en s'il existe et une application , dérivable, telle que et . L'ensemble des matrices tangentes à en est appelé espace tangent à en , et noté .

On rappelle aussi que l'application det : est différentiable en tout point, par exemple parce qu'elle est polynomiale.

14 Prouver l'inclusion .
Soit , que l'on pourra aussi considérer comme matrice complexe, soit l'application . En utilisant un développement limité à l'ordre 1 , montrer que est dérivable en 0 et calculer .
Montrer que la différentielle au point de l'application det : est la forme linéaire "trace".
Montrer que, dans les cas particuliers et , on a .

On considère deux nombres complexes distincts et . On suppose qu'une matrice admet pour valeur propre simple, pour valeur propre double.
Montrer que est semblable à une matrice de la forme

où est un certain nombre complexe. Calculer pour entier naturel, puis pour réel. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur et pour que l'on ait .

Dans tout ce qui suit, . On pose . L'espace vectoriel , identifié à , peut être muni d'une quelconque norme notée , on rappelle qu'elles sont toutes équivalentes. On se donne une matrice carrée à coefficients complexes, et on note l'endomorphisme de canoniquement associé à cette matrice. On s'intéresse au comportement asymptotique de la fonction introduite dans le préambule, et à celui des fonctions vectorielles solutions du système différentiel linéaire à coefficients constants . Pour tout réel et pour , on notera le coefficient d'indices de la matrice . Ainsi,

Pour toute valeur propre de la matrice , on note sa multiplicité, et on introduit le sous-espace vectoriel

On posera aussi .
Montrer que, si , alors .
Montrer que .
En déduire l'existence de trois matrices et dans telles que:

En déduire qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout , on ait

Étudier la réciproque de la question 19).
On suppose, dans cette question seulement, que les valeurs propres de la matrice ont toutes des parties réelles positives ou nulles. Montrer que, si , on a

Dans les questions qui suivent, on introduit les polynômes suivants :

et les sous-espaces et de . Les indices signifient respectivement stable, instable et neutre.
Après avoir justifié que , montrer que

On prouverait de même, mais ce n'est pas demandé, que

- Montrer que

est donc l'ensemble des vecteurs de tels que la fonction vectorielle ait un comportement polynomial en et .

Fin du problème