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Mines Mathématiques 2 MP 2021

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité

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Algèbre linéaireRéductionTopologie/EVNAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2021MP MathsMaths 2021
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans ce problème, on propose de définir la notion d'image d'une matrice réelle symétrique par une fonction d'une variable réelle, puis d'étudier quelques propriétés de cette notion (en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions présentent un intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique).

Notations

Dans tout le problème :
  • désigne un entier naturel non nul;
  • si et sont des entiers naturels, l'ensemble des entiers tels que est noté ;
  • si et sont des entiers naturels, alors si et sinon;
  • désigne l'ensemble des bijections de dans lui-même;
  • est un intervalle de qui n'est ni vide ni réduit à un singleton;
  • désigne l'ensemble des fonctions continues de dans ;
  • une fonction de dans est dite polynomiale s'il existe un polynôme réel tel que, pour tout ;
  • (respectivement , resp. , resp. ), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d'ordre à coefficients réels, et on confond un élément de avec son unique coefficient ;
  • on note Tr l'application trace définie sur ;
  • si , on note sa transposée, on note son spectre réel, et si est le coefficient de situé à la -ème ligne et -ème colonne;
  • on munit de sa norme infinie, notée et définie par :
  • désigne l'ensemble des matrices de dont le spectre réel est inclus dans ;
  • si , on dit que ce -uplet est croissant si pour tout ,
  • si , on appelle nombre d'occurrences de dans le cardinal de l'ensemble ;
  • enfin désigne l'élément de tel que :
on pourra noter cet élément en extension .

Matrices de permutations

Le but de cette partie est d'étudier l'action sur les matrices diagonales de la conjugaison par des matrices de permutations. On considère l'application de dans définie par :
Démontrer que pour tout .
Démontrer que .
Soit et . Vérifier que :
En déduire l'équivalence suivante concernant deux éléments et de ,
i) et ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le même nombre d'occurrences dans et .
ii) il existe telle que .

Fonctions de matrices symétriques

Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l'espace des fonctions de dans et l'espace des fonctions de dans , puis d'en démontrer quelques propriétés. Dans cette partie, est une fonction de dans .
Soit . Justifier l'existence de et de tels que :
Pour tout , justifier l'existence d'un élément de tel que :
Soit . On suppose que l'on dispose des deux écritures :
et .
Montrer que l'on a alors :
Dans la suite du problème, on note l'application qui, à toute fonction de dans , associe la fonction de dans définie par :
où , avec et .
Cette fonction est bien définie puisque, d'après la question précédente, ne dépend pas du choix des matrices et avec , tel que .
Enfin, on désigne par l'application .
Vérifier que et sont linéaires, puis calculer, pour toute fonction de dans et pour tout .
Étudier l'injectivité et la surjectivité de .
On suppose que est polynomiale ; montrer qu'il existe tel que pour tout .
Réciproquement, est-il vrai que, s'il existe tel que pour tout , , alors est polynomiale?
Démontrer que, si est une suite de fonctions de dans qui converge simplement sur vers une fonction , alors les suites et convergent simplement sur .
Y a-t-il convergence uniforme sur si l'on suppose que converge uniformément sur ?

Norme et convexité

L'objectif de cette partie est de munir d'une nouvelle norme qui permettra de compléter l'étude des fonctions de matrices symétriques.
On note . Démontrer que si on a :
Montrer finalement que est une partie convexe de et que l'application , de dans , qui à toute matrice associe
est une norme sur .

Continuité des fonctions de matrices symétriques

Dans cette partie, à l'aide de la norme précédemment introduite, on démontre quelques résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On suppose désormais muni de la norme et on appelle l'application de dans qui, à tout élément de , associe son polynôme caractéristique.
On définit aussi l'application, notée , qui à toute matrice , associe son spectre croissant (c'est-à-dire le -uplet croissant des valeurs propres de dans lequel le nombre d'occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de multiplicité).
Démontrer que est continue.
On souhaite maintenant prouver que est continue. À cet effet, on introduit un élément de et une suite à valeurs dans qui converge vers . Si , on note .
Démontrer que la suite admet une valeur d'adhérence croissante.
Montrer que, si est une application strictement croissante de dans telle que la suite converge, alors : .
En déduire que est continue.
Démontrer que est une partie compacte de .
Démontrer que, si , alors et sont continues.

Convexité des fonctions de matrices symétriques

On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions de matrices symétriques. Dans cette partie, est une fonction de dans .
On suppose ici que est convexe sur et que . On note
Justifier que pour tout , pour tout .
Démontrer alors que :
En déduire que, si est convexe sur , pour tout , pour tout , on a :
On dit qu'une fonction de dans est convexe sur si elle vérifie la relation :
Démontrer finalement que la fonction est convexe sur si, et seulement si, est convexe sur .

Fin du problème

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