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Mines Mathématiques 2 MP 2019

Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireEquations différentielles
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Mines
Année
2019
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2019MP MathsMaths 2019
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert
Soit un entier . L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique. La norme euclidienne associée est notée . On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, et on identifiera à l'ensemble des matrices colonnes à coefficients réels. On note la matrice ligne transposée de la matrice colonne
Enfin, on note la fonction polynomiale définie sur par la formule
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice de Hilbert définie par
On a donc pour tous .

A. Une propriété de Perron-Frobenius

  1. Montrer que la matrice est symétrique réelle et définie positive. On pourra s'aider du calcul de l'intégrale .
    On note le sous-espace propre de associé à la plus grande valeur propre de .
  2. Montrer que si et seulement si .
Soit un vecteur non nul de . On note .
3) Établir l'inégalité et en déduire que .
4) Montrer que , puis que , n'a aucune coordonnée nulle.
5) En déduire la dimension du sous-espace propre .

B. Inégalité de Hilbert

Soit un vecteur de et un polynôme à coefficients réels.
6) En s'aidant du calcul de l'intégrale , montrer l'inégalité , puis l'inégalité .
7) En déduire que .
8) Montrer que la suite est croissante et convergente.

C. Un opérateur intégral

Dans la suite du problème, pour tout entier et tout réel , on pose
Soit l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et intégrables sur et l'application définie par
  1. Montrer que est un endomorphisme de , dont 0 est valeur propre. (On rappelle que est valeur propre de s'il existe non nulle telle que .)
  2. Pour tout , calculer . En déduire que et ont les mêmes valeurs propres non nulles.
On note l'ensemble des fonctions à valeurs strictement positives sur telles que admette un prolongement continu sur . On rappelle que est la plus grande valeur propre de .
11) En utilisant un vecteur propre associé à , montrer que
En utilisant la partie A, montrer que l'on a égalité dans l'inégalité précédente.

D. Une majoration explicite des rayons spectraux

Soit et . Dans la suite du problème, on pose, pour tout :
La fonction Gamma d'Euler est définie sur par la formule
On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes :
é
  1. Montrer que est dérivable sur et que l'on a l'égalité
On suppose dorénavant que est de classe sur et que 0 lorsque .
13) Montrer que
où est un coefficient à déterminer et où désigne la dérivée de . (On pourra traiter à part le cas , où l'on considère que et où l'on montrera que .)
14) Déduire des deux questions précédentes que
.
15) Soit . Résoudre l'équation différentielle sur l'intervalle . À quelles conditions une solution de cette équation différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur ?
On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction est la solution de cette équation différentielle telle que .
16) Montrer que la fonction est dérivable sur et que l'on a:
où l'on donnera l'expression de la constante en fonction de et de .
17) En déduire que pour tout ,
  1. En déduire que pour ,
où l'on a posé .
Un calcul montre, et on l'admet, que l'inégalité précédente implique l'inégalité :
  1. En déduire que , où l'on a posé .
  2. Donner un équivalent de , puis un équivalent de lorsque .

Fin du problème

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