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Mines Mathématiques 2 MP 2018

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RéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Mines
Année
2018
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2018MP MathsMaths 2018
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racines carrées de matrices complexes : existence et calcul numérique

Dans ce problème, on étudie l'existence de racines carrées d'une matrice complexe, puis on introduit l'algorithme de Newton pour calculer numériquement l'une de ces racines carrées, avec des considérations sur la convergence et la stabilité de l'algorithme.
Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes. La matrice identité de est notée . On appelle racine carrée de toute matrice solution de l'équation .
On note l'ensemble des nombres complexes non nuls qui ne sont pas des nombres réels négatifs.

A. Quelques exemples

  1. Montrer que la matrice admet une infinité de racines carrées (on pourra utiliser la notion de symétrie). Lesquelles sont des polynômes en ?
  2. Montrer que admet une infinité de racines carrées et qu'aucune d'entre elles n'est un polynôme en .
Dans la question suivante, est une matrice symétrique réelle qui est définie positive, c'est-à-dire que ses valeurs propres sont strictement positives.
3) Montrer que admet une unique racine carrée symétrique réelle définie positive.
(On pourra montrer que deux racines carrées de ce type possèdent les mêmes valeurs et sous-espaces propres.)

B. Existence et calcul d'une racine carrée

Dans cette partie désigne une matrice inversible quelconque.
4) Soit et deux matrices complexes triangulaires supérieures. On suppose que est inversible. Mon-
trer que l'équation est équivalente au système d'équations suivant:
Montrer que étant donnée, on peut résoudre ce système en choisissant une solution telle que pour tous . (On pourra considérer les parties réelles et imaginaires des .)
5) En déduire que admet une racine carrée. Si en outre, les valeurs propres de appartiennent à , montrer que admet une racine carrée dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement positive.
On admet qu'une telle racine carrée est unique et on la notera dans toute la suite du problème.

C. Algorithme de Newton

Pour tout on pose
et on admet que définit une norme sur . On note et les boules, respectivement ouverte et fermée, de centre et de rayon .
Soit et deux matrices quelconques de .
6) Montrer que .
On note le polynôme minimal de .
7) Montrer que la matrice est inversible si et seulement si et n'ont aucune valeur propre commune.
En déduire que s'il existe une matrice non nulle telle que , alors et ont au moins une valeur propre commune.
8) Réciproquement, si et ont au moins une valeur propre commune, montrer qu'il existe une matrice non nulle telle que .
(On pourra considérer une matrice de la forme où et sont deux matrices colonnes bien choisies).
Soit l'application définie par la formule .
9) Montrer que la différentielle de en est donnée par
Déduire des deux questions précédentes une condition nécessaire et suffisante pour que soit inversible. Montrer que cette condition implique que est inversible.
Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice inversible de dont les valeurs propres appartiennent à . On pose (la matrice a été définie à la question 5).
On définit, sous réserve d'existence, une suite d'éléments de par:
Dans les questions suivantes, on étudie l'existence et la convergence de la suite .
10) Montrer que est inversible et qu'il existe tel que soit inversible pour tout .
Pour tout on pose .
11) Calculer et montrer que pour tout ,
où
  1. En déduire qu'il existe une constante telle que pour tout de . (On pourra utiliser le résultat de la question 6.)
  2. Montrer qu'il existe tel que pour tout la suite soit bien définie et vérifie, pour tout ,
Que peut-on en conclure?

D. Forme équivalente

Dans cette partie, on étudie deux algorithmes équivalents à celui de Newton. On rappelle que désigne une matrice inversible de dont les valeurs propres appartiennent à . Soit et deux matrices de . Sous réserve d'existence, on note la suite de matrices de définie par
ùé
et la suite de matrices de définie par
  1. Si la suite est bien définie par (N) et , montrer que la suite est bien définie par (I) et égale à . Réciproquement si la suite est bien définie par (I) et , montrer que la suite est bien définie par ( ) et égale à . On suppose dorénavant ces conditions vérifiées.
  2. On suppose que commute avec . Montrer que la suite est bien définie par (II) et que pour tout commute avec . (On pourra d'abord montrer que est inversible pour tout et considérer la matrice .)
    On rappelle qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives, et qu'une telle matrice admet une unique racine carrée définie positive (question 3).
Dans la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle définie positive.
On considère la suite définie par la relation (II) avec et . On fixe une matrice orthogonale de sorte que où est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de , ordonnées par ordre croissant. On note les vecteurs propres correspondants.
Soit et quelconques.
16) Montrer que est symétrique réelle définie positive de mêmes vecteurs propres que dont on notera les valeurs propres correspondantes. Trouver une relation entre et .
17) Montrer que
  1. Déterminer la limite de la suite .

E. Stabilité

On considère la suite définie par la relation (II) avec . Soit et deux indices distincts de . On note les colonnes de la matrice orthogonale définie dans la partie précédente et on pose .
Soit . La matrice est calculée par la relation (II) à partir de et on pose . Ensuite est calculé à partir de par la relation (II), puis de la même manière.
19) Montrer les relations suivantes:
  1. Déterminer la valeur de telle que pour tout ,
  1. On appelle conditionnement de le rapport entre sa plus grande valeur propre et sa plus petite. Que doit vérifier le conditionnement de pour que la suite converge?

Fin du problème

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