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Mines Mathématiques 2 MP 2017

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleTopologie/EVNFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Mines
Année
2017
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2017MP MathsMaths 2017
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sous-groupes compacts du groupe linéaire

Soit un espace vectoriel euclidien de dimension dont le produit scalaire est noté , éé. On note l'espace vectoriel des endomorphismes de et le groupe des automorphismes de . Pour tout endomorphisme de , on note l'endomorphisme fois) avec la convention (identité). L'ensemble vide est noté .
On rappelle qu'un sous-ensemble de est convexe si pour tous dans et tout , on a . De plus, pour toute famille d'éléments de convexe et tous nombres réels positifs ou nuls dont la somme égale 1 , on a .
Si est un sous-ensemble quelconque de , on appelle enveloppe convexe de , et on note , le plus petit sous-ensemble convexe de (au sens de l'inclusion) contenant . On note l'ensemble des tels que et on admet que est l'ensemble des combinaisons linéaires de la forme où et .
L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes est noté . On notera en particulier . La matrice transposée d'une matrice à coefficients réels est notée . La trace de est notée .
On note le groupe linéaire des matrices de inversibles et le groupe orthogonal d'ordre .
Les parties et sont indépendantes.

A Préliminaires sur les matrices symétriques

On note le sous-espace vectoriel de formé des matrices symétriques. Une matrice est dite définie positive si et seulement si pour tout non nul, on a . On note l'ensemble des matrices symétriques définies positives.
  1. Montrer qu'une matrice symétrique est définie positive si et seulement si son spectre est contenu dans .
  2. En déduire que pour tout , il existe tel que . Réciproquement montrer que pour tout .
  3. Montrer que l'ensemble est convexe.

B Autres préliminaires

Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.
4. Soit un sous-ensemble compact de et son enveloppe convexe. On rappelle que est l'ensemble des tels que . Définir une application de dans telle que . En déduire que est un sous-ensemble compact de .
5. On désigne par un endomorphisme de tel que pour tous dans , implique .
Montrer qu'il existe un nombre réel positif tel que pour tout , . (On pourra utiliser une base orthonormée de et considérer les vecteurs et pour .)
En déduire que est la composée d'une homothétie et d'un endomorphisme orthogonal.
6. On se place dans l'espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire défini par . (On ne demande pas de vérifier que c'est bien un produit scalaire.)
Montrer que le groupe orthogonal est un sous-groupe compact du groupe linéaire .

C Quelques propriétés de la compacité

Soit une suite d'éléments de pour laquelle il existe un réel tel que pour tous entiers naturels , on ait .
7. Montrer que cette suite n'admet aucune suite extraite convergente.
Soit un sous-ensemble compact de . On note la boule ouverte de centre et de rayon .
8. Montrer que pour tout réel , il existe un entier et éléments de tels que . (On pourra raisonner par l'absurde.)
On considère une famille de sous-ensembles ouverts de étant un en-
semble quelconque, telle que .
9. Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout , il existe tel que soit contenue dans l'ouvert . (On pourra raisonner par l'absurde pour construire une suite d'éléments de n'ayant aucune suite extraite convergente.) En déduire qu'il existe une sous-famille finie ( ) de la famille telle que .
Soit une famille de fermés de contenus dans et d'intersection vide : .
10. Montrer qu'il existe une sous-famille finie ( ) de la famille telle que .

D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

Soit un sous-groupe compact de et un sous-ensemble non vide, compact et convexe de . Pour tout , on pose .
11. Montrer que est bien définie, et que c'est une norme sur .
12. Montrer en outre que vérifie les deux propriétés suivantes:
  • pour tous et ;
  • pour tous dans avec non nul, si et seulement si où .
Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si , l'application qui à associe est continue.
On considère un élément de et on suppose que est stable par , c'est-à-dire que est inclus dans . Pour tout et , on pose . Enfin, on appelle diamètre de le nombre réel qui est bien défini car est borné.
13. Montrer que la suite est à valeurs dans et en déduire qu'il en existe une suite extraite convergente vers un élément de . Montrer par ailleurs que pour tout . En déduire que l'élément de est un point fixe de .
On suppose maintenant que le compact non vide convexe est stable par tous les éléments de . Soit un entier des éléments de et .
14. Montrer que est stable par et en déduire l'existence d'un élément tel que .
15. Montrer que . En déduire que pour tout , on a .
16. En déduire, pour tout , l'existence d'un nombre réel tel que .
17. Déduire de la question précédente que est un point fixe de tous les endomorphismes où .
18. En utilisant le résultat de la question 10 , montrer qu'il existe tel que pour tout .

E Sous-groupes compacts de

On se place à nouveau dans l'espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire défini par . On rappelle que désigne le groupe linéaire et le groupe orthogonal d'ordre .
Soit un sous-groupe compact de . Si , on définit l'application de dans lui-même par la formule . On vérifie facilement, et on l'admet, que pour tout , l'application qui à associe est continue.
On note et .
19. Montrer que et que est un sous-groupe compact de .
20. Montrer que est un compact contenu dans et que est un sousensemble compact de qui est stable par tous les éléments de .
21. Montrer qu'il existe tel que pour tout . En déduire l'existence de tel que pour tout . En déduire enfin qu'il existe un sous-groupe de tel que .
Soit un sous-groupe compact de qui contient , et tel que . On désigne par l'automorphisme de de matrice dans la base canonique de , par un hyperplan de et par la symétrie orthogonale par rapport à .
22. Montrer que est une symétrie, puis que c'est un endomorphisme orthogonal de . En déduire que . Montrer que conserve l'orthogonalité et en déduire .
Fin du problème
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