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Mines Mathématiques 2 MP 2016

Théorème taubérien de Hardy-Littlewood-Karamata

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Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesIntégrales généralisées
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Mines
Année
2016
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2016MP MathsMaths 2016
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CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, désigne l'intervalle .

A Une intégrale à paramètre

Pour tout on pose, sous réserve d'existence,
  1. Montrer que la fonction est intégrable sur .
  2. Déterminer les valeurs de pour lesquelles est définie.
  3. Montrer que la fonction est de classe sur et exprimer sous forme intégrale.
  4. En déduire que pour tout .
  5. Pour tout , on pose . Montrer qu'il existe une constante réelle telle que pour tout .
  6. Déterminer les limites de en 0 et , et en déduire la valeur de .

B Étude de deux séries de fonctions

Dans toute cette partie, on pose et .
7. Montrer que et sont définies et continues sur .
8. Montrer que pour tout . En déduire un équivalent de lorsque .
9. Montrer que la suite converge.
10. Démontrer que pour tout , la série converge et exprimer sa somme en fonction de pour tout .
11. En déduire un équivalent de lorsque . Montrer alors que est équivalent à lorsque .

C Séries de fonctions associées à des ensembles d'entiers

À tout ensemble on associe la suite ( ) définie par
Soit l'ensemble des réels pour lesquels la série converge. On pose pour tout . Enfin, sous réserve d'existence, on pose et on note l'ensemble des parties pour lesquelles existe.
12. Quel est l'ensemble si est fini? Si est infini, montrer que l'on peut extraire une suite ( ) de la suite ( ) telle que pour tout . Déterminer dans ce cas.
13. Soit et la suite associée. Pour tout entier naturel , on note l'ensemble des éléments de qui sont . Vérifier que pour tout la série converge et que
Dans la question suivante, désigne l'ensemble des carrés d'entiers naturels non nuls.
14. Montrer que si où désigne la partie entière. En déduire un encadrement de , puis un équivalent de en 0 . Prouver alors que et donner .
Dans la question suivante, désigne l'ensemble constitué des entiers qui sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet que , et on désire majorer .
Soit le nombre de couples d'entiers naturels non nuls ( ) pour lesquels .
15. Montrer que pour tout réel , la série converge et établir que
Montrer alors que pour tout . En déduire un majorant de .

D Un théorème taubérien

Soit une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel , la série converge. On suppose que
On note l'espace vectoriel des fonctions de dans le sous-espace de des fonctions continues par morceaux et le sous-espace de des fonctions continues sur . On munit de la norme définie par la formule .
Si , on note l'application qui à associe
  1. Montrer que est bien définie pour tout et que l'application est une application linéaire de dans . Vérifier que, pour tous dans , entraîne .
On note l'ensemble des pour lesquels existe et si , on pose
  1. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de et que l'application est une forme linéaire continue de ( ).
  2. Montrer que pour tout appartient à et calculer . En déduire que et calculer pour tout .
Pour tous tel que , on note la fonction définie par
Soit et . On note
et
  1. Vérifier que et appartiennent à et calculer et . Montrer alors que et calculer . En déduire que et donner pour tout .
On considère maintenant la fonction définie sur par la formule :
  1. Calculer pour tout entier et en déduire la limite
(théorème taubérien).
On rappelle que est le nombre de couples d'entiers naturels non nuls ( ) tels que .
21. Si , que vaut ? Déterminer alors .
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