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Mines Mathématiques 2 MP 2015

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionSéries et familles sommables
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Banque
Mines
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2015MP MathsMaths 2015
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2015

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Norme d'une matrice aléatoire

L'objectif de ce problème est d'étudier une inégalité de concentration pour la norme opérationnelle d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont mutuellement indépendants et «uniformément sous-gaussiens».
Soit un entier strictement positif. On identifie à l'espace des vecteurs colonnes à coordonnées réelles. Pour tout dans on note :
La sphère unité de est notée . On identifie une matrice carrée à l'endomorphisme de canoniquement associé et on note l'ensemble de ses valeurs propres réelles.

Les parties et sont mutuellement indépendantes.

A. Norme d'opérateur d'une matrice

Soit .
  1. Montrer que est un compact de et en déduire l'existence de:
  1. Montrer que l'application qui à associe est une norme sur . Montrer en outre que pour tous et dans , on a l'inégalité .
  2. Si est symétrique, établir l'égalité . On pourra commencer par le cas où est diagonale.
    On note la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
  3. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de en précisant la dimension des espaces propres. En déduire la valeur de .
    Soit .
  4. Démontrer l'inégalité .
  5. Etablir que :
et donner une condition nécessaire et suffisante sur le rang de pour que cette inégalité soit une égalité.
On note l'ensemble des matrices de telles que pour tous dans .
7) Montrer que pour tout . Caractériser et dénombrer les matrices de pour lesquelles .

B. Variables aléatoires sous-gaussiennes

Dans toute la suite du problème, toutes les variables aléatoires considérées sont réelles et discrètes, définies sur un espace probabilisé ( ) . Soit . On dit que la variable aléatoire est -sous-gaussienne si :
On rappelle la notation : .
8) Montrer que pour tout , on a . On pourra au préalable établir le développement de la fonction ch en série entière sur .
9) Soit . Démontrer que si , on a l'inégalité de convexité :
  1. Soit une variable aléatoire réelle bornée par 1 et centrée. Montrer que est 1-sous-gaussienne. En déduire que, si est une variable aléatoire bornée par et centrée, alors elle est -sous-gaussienne.
  2. Soit des variables aléatoires mutuellement indépendantes et -sous-gaussiennes, et des nombres réels tels que . Montrer que la variable aléatoire est -sous-gaussienne.
  3. Soit une variable aléatoire -sous-gaussienne et . Montrer que pour tout :
En déduire que :
Dans la suite du problème, on admet qu'une variable aléatoire à valeurs dans est d'espérance finie si et seulement si la série converge et que, dans ce cas :
  1. Si est une variable aléatoire à valeurs dans , montrer que est d'espérance finie si et seulement si la série de terme général converge et que, dans ce cas :
On pourra pour cela considérer la partie entière .
Pour tout , on note .
14) Soit une variable aléatoire -sous-gaussienne et . Montrer que pout tout entier :
où on a posé . En déduire que si , la variable aléatoire est d'espérance finie majorée par .
En particulier, en prenant et en utilisant l'inégalité (que l'on ne demande pas de justifier), on obtient immédiatement, et on l'admet, que si est une variable aléatoire -sous-gaussienne, on a l'inégalité d'Orlicz:

C. Recouvrements de la sphère

Si , on note la boule fermée de centre et de rayon . Soit une partie compacte non vide de , et soit .
15) Montrer que l'on peut trouver un sous-ensemble fini de tel que :
On pourra raisonner par l'absurde en utilisant le théorème de BolzanoWeierstrass.
16) Soit un sous-ensemble de tel que pour tous distincts dans , . Montrer que est fini et que son cardinal est majoré par celui d'un ensemble du type considéré à la question précédente. Si de plus est de cardinal maximal, montrer que :
On admet l'existence d'une fonction , appelée volume, définie sur l'ensemble des parties compactes de et vérifiant les propriétés suivantes.
(i) Pour tout vecteur de et tout nombre réel .
(ii) Pour toute famille finie de compacts de deux à deux disjoints, on a:
(iii) Pour tous compacts de implique .
Soit une partie finie de telle que pour tous distincts dans .
17) Vérifier que les boules pour sont toutes contenues dans . Montrer alors que le cardinal de est majoré par .
18) Justifier l'existence d'une partie finie de , de cardinal majoré par , et telle que :

D. Norme d'une matrice aléatoire

On fixe un nombre réel et on pose .
Soit un entier strictement positif. On définit une famille de variables aléatoires réelles , indexées par , mutuellement indépendantes et -sous-gaussiennes. On note la matrice aléatoire .
Si , on note qui est ainsi un vecteur aléatoire dont les composantes sont des variables aléatoires réelles.
19) Montrer que pour tout , la variable aléatoire est -sousgaussienne. En déduire que et que pour tout réel :
  1. Soit une partie de vérifiant les conditions de la question 18). Pour tout réel , montrer que implique l'existence d'un tel que . En déduire que :

Fin du problème

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