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Mines Mathématiques 2 MP 2014

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Topologie/EVNFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2014
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2014MP MathsMaths 2014
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2014

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Points fixes et opérateurs à noyau

On considère un espace réel de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel sur muni d'une norme notée et complet pour cette norme. Si est une partie de , on note son adhérence, son intérieur, sa frontière, et sa distance à un point . On note respectivement et les boules ouverte et fermée de centre et de rayon .
Étant données deux parties et de , et une application , on rappelle que est un point fixe de si c'est une solution de l'équation . L'application est dite contractante si elle est -lipschitzienne de rapport , c'est-à-dire si pour tous , il existe un réel tel que
On rappelle qu'une application lipschitzienne est continue.
Dorénavant et dans tout le problème, désigne une partie fermée non vide de .

A. Théorème du point fixe

Dans cette partie préliminaire, on établit le
Théorème (Picard). Toute application contractante admet un unique point fixe .
Soit donc une application contractante.
  1. Montrer que si admet un point fixe , celui-ci est unique.
Soit et la suite d'éléments de définie par la relation de récurrence pour tout entier naturel .
2) Montrer que la suite est de Cauchy.
3) Conclure.

B. Invariance par homotopie

Soit et deux applications contractantes. On suppose que et sont homotopes, c'est-à-dire qu'il existe une application telle que pour tout , on a et , et qui vérifie en outre les trois propriétés suivantes :
a il existe tel que pour tous et tout , on a
il existe un réel tel que pour tout et tous ,
c pour tous et , on a .
On suppose en outre que admet un point fixe dans et on pose
  1. Vérifier que n'est pas vide.
Soit une suite d'éléments de qui converge vers un réel . On choisit une suite d'éléments de tels que pour tout entier naturel , on a la relation .
5) Vérifier qu'une telle suite existe et que pour tous entiers naturels et , on a
  1. Montrer alors que la suite est de Cauchy et en déduire que est fermée.
Soit encore et tels que .
7) Vérifier que .
Soit et deux nombres réels strictement positifs tels que et , et soit tel que .
8) Montrer que pour tout , on a .
9) En déduire, en utilisant le théorème de Picard ci-dessus, que l'application possède un point fixe intérieur à .
10) En déduire que est un ouvert relatif à . Conclure alors que possède un unique point fixe intérieur à (on pourra considérer une borne supérieure de ).
Une application. On ne suppose plus que l'application contractante admet un point fixe, mais on fait les trois hypothèses suivantes :
d le vecteur nul 0 est intérieur à ;
l'image de par est bornée;
pour tout et tout , on a .
11) Montrer que possède un unique point fixe intérieur à .

C. Étude de certains opérateurs à noyau

Soit deux réels et une application continue. On suppose qu'il existe un sous-ensemble contenant 0 et un réel vérifiant pour tous et dans ,
L'espace de Banach des fonctions continues est muni de la norme .
Soit une fonction continue. On définit l'application de dans lui-même par la formule :
et on pose .
12) Pour toutes fonctions telles que pour tout , on a et , démontrer l'inégalité
Soit une partie fermée et bornée de contenant la fonction nulle dans son intérieur et telle que pour tous et , on a . On suppose en outre que et que pour tous et , on a .
13) Montrer que admet un unique point fixe intérieur à .

D. Une généralisation

Soit une partie convexe fermée de contenant . On considère une application continue , pas nécessairement contractante, telle que
le vecteur nul 0 est intérieur à ;
l'ensemble est compact;
pour tout et tout , on a .
On pose
  1. Montrer que est non vide et fermé. En déduire que la fonction [ 0,1 ] définie par la formule
est bien définie et continue. Déterminer lorsque et lorsque .
On définit une fonction par:
  1. Montrer que est continue sur et que est compact.
On admet le
Théorème (Schauder). Si C est une partie convexe fermée de , toute application continue telle que est compact possède au moins un point fixe.
16) Conclure, à l'aide du théorème de Schauder, que admet un point fixe intérieur à .

E. Application aux intégrales de Fredholm

On considère dans cette partie l'espace de Banach des fonctions continues muni de la norme . On note également l'espace des fonctions continues muni de la norme .
Soit et des fonctions continues. On pose, pour tout et :
On fait les hypothèses suivantes:
pour tout réel , il existe tel que implique pour tout .
la fonction définie pour tout par la formule est dans , et l'application est continue de dans .
On suppose en outre qu'il existe un réel tel que pour tout et toute solution de l'équation , on a .
17) Déterminer pour chaque , une constante telle que pour tous ,
  1. En déduire que est une application de dans .
On note et on considère une suite d'éléments de .
19) Montrer que si dans quand , on a la convergence simple sur .
20) Montrer que pour tout réel , il existe un réel tel que pour tout et tous implique .
On rappelle que pour tout , il existe une famille finie telle que le segment soit inclus dans la réunion des intervalles pour .
21) Montrer que si la suite converge simplement sur , alors elle converge dans . En déduire que est continue sur .
22) Soit une suite de . Montrer que la suite admet une sous-suite qui converge simplement sur (on pourra commencer par établir la convergence simple sur une partie dense de [ 0,1 ]).
23) Conclure : admet un point fixe de norme strictement inférieure à .

Fin du problème

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