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Mines Mathématiques 2 MP 2012
Formule sommatoire de Poisson
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Intégrales à paramètresAlgèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS 2012
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objectif de ce problème est d'établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d'en étudier certaines applications.
Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur
A. Préliminaires
La transformée de Fourier de
- Justifier que pour tout
est bien définie et continue sur .
On désigne par
2) Établir que
Étant donné
3) Déterminer les transformées de Fourier de
4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions
2) Établir que
Étant donné
3) Déterminer les transformées de Fourier de
4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions
et
pour tout
5) Montrer que
6) Si
5) Montrer que
6) Si
B. Formule sommatoire de Poisson
Soit
7) Montrer que
8) Déterminer, en fonction de
7) Montrer que
8) Déterminer, en fonction de
On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier, alors elles sont égales.
9) Montrer que si
9) Montrer que si
Les parties suivantes donnent diverses applications de la formule de Poisson.
C. Application à la formule d'inversion de Fourier
Soit
10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction
10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction
Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier de la fonction périodisée
11) En déduire la formule d'inversion de Fourier:
11) En déduire la formule d'inversion de Fourier:
On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient de Fourier particulier de
On dit que
12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans
On dit que
12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans
Les parties suivantes sont indépendantes les unes des autres.
D. Application au théorème d'échantillonnage de Whittaker
On considère, dans cette partie, une fonction
13) Montrer qu'alors
14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que
13) Montrer qu'alors
14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que
E. Contre-exemple de Katznelson
Dans cette partie, on considère la fonction
On pose enfin, pour une suite donnée
On pourra utiliser, sans les re-démontrer, les égalités suivantes concernant le noyau de Fejér
la deuxième égalité n'ayant lieu que si
15) Montrer que la fonction
Bien que ce ne soit pas nécessaire, pour la conformité au programme, on pourra admettre dorénavant que
16) Montrer que
17) Etablir l'inégalité suivante :
15) Montrer que la fonction
Bien que ce ne soit pas nécessaire, pour la conformité au programme, on pourra admettre dorénavant que
16) Montrer que
17) Etablir l'inégalité suivante :
- En déduire qu'il existe une suite
telle que soit intégrable et que la série de terme général converge vers en moyenne sur . Que peut-on en déduire sur la nature de la convergence de la série de terme général ? - Examiner la validité de la formule de Poisson pour cette fonction
. Que peut-on en conclure?
F. Application à la resommation d'Ewald
On note
20) Donner une valeur approchée de la somme de la série :
20) Donner une valeur approchée de la somme de la série :
exacte à