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Mines Mathématiques 2 MP 2011

Sur le calcul des variations

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesEquations différentielles
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Mines
Année
2011
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2011MP MathsMaths 2011
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2011

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sur le calcul des variations

Soit un intervalle , ni vide, ni réduit à un point, et un ensemble de fonctions . On se donne une application définie au moyen d'une intégrale faisant intervenir et ses dérivées. L'objectif de ce problème est d'étudier le minimum éventuel de sur :
et de déterminer, dans certains cas particuliers, les points de en lesquels atteint son minimum.
On note l'ensemble des fonctions de classe telles que et . La notation désigne la dérivée d'ordre de la fonction .

A. Préliminaire

  1. On pose . Que vaut ?
On note l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes sur et on considère la matrice de suivante :
  1. Proposer une matrice inversible et une matrice diagonale de telles que . La méthode choisie pour les obtenir doit être expliquée.
  2. En déduire les solutions de l'équation différentielle
  1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dans . On pourra considérer le vecteur

B. Un lemme de du Bois-Reymond

  1. On considère la fonction définie par si et sinon. Montrer que et représenter son graphe. La fonction est-elle de classe sur ?
  2. Soit des nombres réels tels que . Construire à partir de une fonction vérifiant pour tout et ailleurs.
  3. Soit telle que pour tout . Démontrer qu'alors est nulle.

C. Une condition nécessaire d'Euler-Lagrange

Dans cette partie, on prend pour un couple donné ( ) de nombres réels. La fonction est définie sur par la formule
où sont des polynômes fixés.
Soit . On se propose de prouver que si pour tout , alors vérifie une certaine équation différentielle. Soit .
8) Montrer que l'application définie sur par la formule
est polynomiale, c'est-à-dire qu'il existe une famille finie ( ) de nombres réels telle que pour tout . Expliciter le coefficient sous la forme d'une intégrale faisant intervenir les polynômes dérivés et .
9) On suppose que pour tout . Montrer qu'alors et en déduire l'équation différentielle :

Exemples

Premier exemple. On choisit et définie par .
10) Former l'équation différentielle ( ) correspondante. Parmi ses solutions, préciser celles qui appartiennent à .
11) Montrer que admet un minimum sur , préciser sa valeur ainsi que les points de où ce minimum est réalisé. (On pourra s'aider de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.)
Deuxième exemple. On choisit et définie par
  1. Former l'équation différentielle ( ) correspondante. Parmi ses solutions, montrer que seule la fonction nulle appartient à .
  2. Montrer que n'admet pas de minimum sur . (On pourra se servir de la fonction définie sur l'intervalle par la formule .)

D. Un exemple avec dérivée seconde

Dans cette partie, désigne l'ensemble des fonctions telles que et soient intégrables sur . On rappelle que l'ensemble des fonctions telles que soit intégrable sur est un -espace vectoriel, que l'on note .
Dans les deux questions suivantes, on considère .
14) Montrer que le produit est intégrable sur et que ne tend pas vers quand .
15) En déduire que , puis que quand .
Dans cette partie, la fonction est définie par
Par un raisonnement identique à celui de la partie C , on peut montrer, et on l'admettra, que si la fonction présente un minimum en un élément de , alors est solution sur de l'équation (2): .
16) Déterminer les solutions de (2) qui appartiennent à . (On pourra d'abord étudier leur appartenance à .)
On note et les fonctions définies sur par les formules
Un calcul montre, et on l'admettra, que pour tous réels et ,
On pose également, pour tout ,
  1. On suppose, dans cette question, que la fonction présente un minimum en un élément de . Montrer que est solution sur de l'équation . Montrer par ailleurs qu'il existe tel que .
  2. Montrer que pour tout et tout réel ,
Quel est le comportement lorsque ? En déduire que la fonction admet effectivement un minimum au point pour chaque .
19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet de retrouver directement toutes les fonctions telles que , sans passer par l'équation différentielle (2).

E. Application : une inégalité de Hardy et Littlewood

On reprend les notations de la partie précédente, et pour tout , on note
  1. Montrer que pour tout ,
On pourra poser et utiliser le fait que , pour tout réel .
21) Déterminer tous les cas d'égalité dans l'inégalité précédente.

Fin du problème

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