J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Mathématiques 2 MP 2009

Théorème de Müntz

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaire
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2009MP MathsMaths 2009
2025_08_29_5463607ae700bb5e3441g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On désigne par l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur . Pour tout , on note l'élément de défini par . Par convention on a posé de sorte que est la fonction constante 1 .
Soit une suite de réels deux à deux distincts. On note le sousespace vectoriel de engendré la famille . Le but du problème est d'établir des critères de densité de l'espace dans pour l'une ou l'autre des deux normes classiques ou définies par:
La question préliminaire et les parties et sont indépendantes les unes des autres.

Question préliminaire

  1. Montrer que est une famille libre de .

A. Déterminants de Cauchy

On considère un entier et deux suites finies et de réels telles que pour tout . Pour tout entier tel que , le déterminant de Cauchy d'ordre est défini par :
On définit la fraction rationnelle :
  1. Montrer que si est de la forme , alors
On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de en remplaçant la dernière colonne par
  1. En déduire que

B. Distance d'un point à une partie dans un espace normé

Soit un espace vectoriel normé par une norme . On rappelle que la distance d'un élément à une partie non vide de est le réel noté défini par:
  1. Montrer que si et seulement si est adhérent à .
  2. Montrer que si est une suite croissante de parties de et si alors .
    On considère un sous-espace vectoriel de dimension finie de , et on note .
  3. Montrer que est compacte et que pour tout .
  4. En déduire que pour tout , il existe un élément tel que .

C. Distance d'un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien

Dans cette partie, on suppose que la norme sur l'espace vectoriel est définie à partir d'un produit scalaire ( ) sur .
8) Montrer que si est un sous-espace vectoriel de dimension finie de , alors pour tout , la projection orthogonale de sur est l'unique élément vérifiant .
Pour tout suite finie on désigne par le déterminant de la matrice de Gram d'ordre définie par :
  1. Montrer que si et seulement si la famille ( ) est liée.
  2. On suppose que la famille est libre et l'on désigne par l'espace vectoriel qu'elle engendre. Montrer que, pour tout ,

D. Comparaison des normes et

Pour toute partie de on note et les adhérences de pour les normes et , respectivement. Pour la notation désigne toujours la distance de à relativement à la norme (on ne considérera jamais, dans l'énoncé, la distance d'un élément à une partie relativement à la norme ).
11) Montrer que pour tout . En déduire que pour toute partie de on a .
On considère l'ensemble , et on rappelle que désigne la fonction constante 1 .
12) Montrer que .
13) En déduire que est dense dans pour la norme , mais n'est pas dense pour la norme .
14) Montrer que si est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé, alors son adhérence est également un espace vectoriel.
15) Montrer qu'un sous-espace vectoriel de est dense pour la norme si et seulement si pour tout entier .
16) En déduire qu'un sous-espace vectoriel de est dense pour la norme si et seulement si pour tout entier .

E. Un critère de densité de pour la norme

Pour tout , on note l'espace vectoriel engendré par la famille finie .
17) Montrer que l'espace est dense dans pour la norme si et seulement si pour tout entier .
18) Montrer que pour tout ,
  1. Montrer que pour tout , la suite tend vers 1 si et seulement si la suite tend vers .
    (On pourra pour cela étudier les variations de la fonction
  2. En déduire que l'espace est dense dans pour la norme si et seulement si la série est divergente.

F. Un critère de densité de pour la norme

  1. Montrer que si est dense dans pour la norme , alors la série est divergente.
  2. Soit un élément quelconque de . Montrer que si pour tout , alors pour tout , on a :
  1. On suppose que la suite vérifie les deux conditions suivantes :
Montrer que sous ces conditions, si la série est divergente, alors est dense dans pour la norme .
24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible :
Fin du problème
Mines Mathématiques 2 MP 2009 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa