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Mines Mathématiques 2 MP 2007

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Algèbre linéaireRéduction
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Banque
Mines
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2007MP MathsMaths 2007
2025_08_29_15328ddd3876e9b2f130g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Algèbres de Lie

Dans tout ce problème, est un entier au moins égal à 1 . On note l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes, à coefficients complexes.
On identifiera une matrice colonne (un élément de ) et le vecteur de dont les composantes dans la base canonique de sont les coefficients de la matrice . Pour , on note l'endomorphisme canoniquement associé de est l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique de . Par ailleurs, est l'espace propre associé à la valeur propre de l'endomorphisme .
Pour une matrice de coefficients ( ) et pour , on appelle -ième diagonale supérieure de , notée , l'ensemble des coefficients ( ). Une diagonale supérieure est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.
Si et sont deux espaces supplémentaires de , on note la projection sur parallèlement à : pour avec et , . Pour un endomorphisme de , on note sa restriction à .
De sorte que si représente l'injection de dans pour tout .

I Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux éléments et de la matrice, notée , définie par
Définition 1 Soit un sous-espace vectoriel de . On note l'espace vectoriel engendré par les crochets de Lie lorsque et décrivent . On dit que est une algèbre de Lie lorsque
Soit et deux algèbres de Lie qui vérifient
On souhaite prouver le théorème suivant.
Théorème 1 Si est une colonne propre pour toute matrice dans et si est une matrice dans alors est soit la matrice colonne nulle, soit une matrice colonne propre pour toute matrice dans . De plus, si pour alors .
Soit une matrice colonne propre pour toute matrice dans , et soit une matrice de .
  • 1 - Établir l'existence d'une forme linéaire sur , à valeurs dans , telle que pour tout .
  • 2 - Montrer que pour tout appartient à .
On considère la suite de matrices colonnes ( ) définie par
Pour , on considère la suite de nombres complexes ( ) définie par
  • 3 - Démontrer, pour tout entier et pour tout , les identités suivantes:
  • 4 - On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de . Démontrer qu'il existe un plus grand entier tel que la famille de vecteurs soit libre.
On note l'espace vectoriel engendré par la famille .
  • 5 - Montrer que et sont des endomorphismes de .
  • 6 - Calculer la trace de .
  • 7 - Quelle est la matrice de dans la base ?
  • 8 - Pour , que vaut ?
  • 9 - Établir le théorème 1 .

II Algèbres de Lie résolubles

Définition 2 Soit une algèbre de Lie et un entier naturel non nul. On dit que est une algèbre de Lie résoluble de longueur lorsqu'il existe des algèbres de Lie telles que:
On se propose de montrer le théorème suivant.
Théorème est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s'il existe une matrice inversible telle que, pour tout est triangulaire supérieure.
Soit une matrice inversible de et l'ensemble des matrices telles que soit triangulaire supérieure.
  • 10 - Traduire la propriété « il existe une matrice inversible telle que pour tout est triangulaire supérieure » en une propriété sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de .
  • 11 - Montrer que est une algèbre de Lie résoluble de longueur .
On pourra considérer les sous-espaces tels que et pour tout entier , est l'ensemble des matrices telles que les diagonales supérieures , , et sont nulles.
Dans les questions 12 à 17, on suppose que est une algèbre de Lie résoluble de longueur .
  • 12 - Montrer que pour tout , on a .
  • 13 - Soit un entier non nul et une famille d'éléments de . Montrer qu'il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes .
  • 14 - Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes .
On note dorénavant :
Soit et deux espaces supplémentaires de et et deux endomorphismes de . De plus, on suppose, d'une part, que est stable par et et, d'autre part, que et commutent.
  • 15 - Montrer les relations suivantes:
  • 16 - Montrer que et commutent puis que et commutent.
  • 17 - En procédant par récurrence sur , établir le théorème 2 dans le cas .
Soit, maintenant, une algèbre de Lie résoluble de longueur .
On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur inférieure strictement à , il existe un élément , inversible, tel que pour toute matrice dans cette algèbre, soit triangulaire supérieure.
  • 18 - Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes .
Soit l'un de ces vecteurs propres. On note l'espace vectoriel engendré par et les éléments de la forme
où est un entier non nul, pour tout .
  • 19 - Montrer que est un espace vectoriel stable par tous les éléments de et que tous les éléments de sont des vecteurs propres communs à tous les endomorphismes de .
Soit .
  • 20 - Montrer que est une homothétie de trace nulle.
  • 21 - Que peut-on en déduire?
Le théorème 2 , dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonnements qu'aux questions 14 et 17.

Fin du problème

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