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Mines Mathématiques 2 MP 2005

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionAlgèbre généraleTopologie/EVN
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Mines
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2005MP MathsMaths 2005
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A 2005 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE

Filière MP

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soient et deux matrices symétriques de dont les valeurs propres sont notées respectivement et , répétées suivant leur multiplicité. On veut démontrer l'inégalité :
où désigne le groupe des permutations de l'ensemble .

Notations

On note par . et on munit de la norme matricielle subordonnée que, pour alléger les notations, on notera aussi . é, on note sa matrice transposée, son déterminant et sa trace. La matrice identité de est notée I.
Une matrice est dite symétrique (respectivement antisymétrique) lorsque (respectivement ). On note (respectivement ) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques (respectivement anti-symétriques).

Résultats admis

On admet les propriétés suivantes:
P1 - Si et sont deux matrices diagonalisables et si elles commutent, il existe une base de diagonalisation commune à et .
P2 - Si et commutent alors .

I. Préliminaires

  1. Montrer que
  1. On note la base canonique de .
    Pour , expliciter en fonction des coefficients de M.
  2. Soit telle que pour toute matrice . La matrice est-elle symétrique ou anti-symétrique?
  3. Soit , montrer que est orthogonale.
  4. Soit . Montrer que, pour au voisinage de 0 ,
  1. Soit . Pour , on note le coefficient de dans le polynôme caractéristique de :
Montrer que pour tout , l'application est continue.
7) Soit . Montrer que pour au voisinage de 0 ,
et que
  1. On suppose que n'est pas inversible. Construire une matrice de telle que, pour tout , on ait .
  2. Montrer que l'on peut choisir , à coefficients réels, diagonalisable (respectivement symétrique) si est diagonalisable (respectivement symétrique).

II. Démonstration de l'inégalité (1)

On rappelle que et sont des matrices réelles symétriques.
10) Montrer que si les matrices et commutent alors il existe telle que:
  1. Soit l'ensemble des matrices orthogonales de . Montrer que est une partie compacte de .
  2. Pour tout , on considère la partie de définie par
Montrer qu'il existe telle que

II. inversible

De cette question à la question 17, on suppose que est inversible. Pour et pour tout réel , on définit par
  1. Montrer que pour au voisinage de 0 , on a
  1. Montrer que pour tout réel, on a .
  2. Montrer l'égalité suivante:
  1. Montrer que commute avec et .
  2. Montrer l'inégalité (1).

II. singulière

On suppose dorénavant que n'est pas inversible.
18) Montrer qu'il existe deux suites de , ( ) et ( ) telles que
(i) converge vers quand tend vers ,
(ii) pour tout ,
(iii) pour tout ,
(iv) commute avec pour tout .
19) Montrer l'inégalité (1).

III. Une permutation qui réalise le maximum

Indépendamment des matrices et , étant données deux suites de réels et , on se propose de préciser l'inégalité (1), en explicitant une permutation pour laquelle le produit
est maximum. On supposera que les hypothèses suivantes sont vérifiées:
Pour tout entier , on considère la propriété suivante: pour toutes les suites ( ) et ( ) vérifiant (H) et toute permutation , on a
  1. Établir pour tout .
Indication : pour et donnés, on distinguera deux cas :
Cas 1: vérifie . On montrera qu'il existe alors telle que pour .
Cas 2: Il existe et tels que et et on ramènera l'étude du second cas au premier en factorisant .

FIN DU PROBLÈME

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