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Mines Mathématiques 2 MP 2004

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Suites et séries de fonctionsIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2004
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2004MP MathsMaths 2004
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A 2004 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants.

Problème I

Soit une fonction à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert du plan , deux fois continûment dérivable ; le laplacien de la fonction est, par définition, la fonction, notée , définie dans l'ouvert par la relation suivante :
Une fonction à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert du plan , deux fois continûment dérivable, est harmonique dans si et seulement si son laplacien est nul dans :
Exemple : en électrostatique, le potentiel électrique dans le vide est harmonique.
Le but du problème est de donner des exemples de telles fonctions puis de démontrer certaines propriétés de ces fonctions : le principe du maximum, la propriété de moyenne, le fait que les fonctions bornées harmoniques dans tout le plan sont constantes.
Le plan est supposé muni de la norme euclidienne.
Quelques exemples de fonctions harmoniques :
  1. Démontrer que les fonctions complexes et , définies dans le plan par les relations ci-dessous, sont harmoniques :
  1. Déterminer les fonctions réelles, de classe , définies sur la demi-droite ouverte , telles que chaque fonction , définie dans le plan privé du point par la relation ci-dessous, soit harmonique
Poser si nécessaire : .
3. Déterminer les fonctions réelles, de classe , définies sur la droite réelle , telles que chaque fonction , définie dans le plan privé de l'axe par la relation ci-dessous, soit harmonique.
Soit la suite de fonctions définies dans tout le plan par les relations suivantes:
  1. Soit un ensemble fermé borné quelconque du plan ; démontrer que la restriction de la fonction au fermé est le terme général d'une série de fonctions uniformément convergente.
En déduire que la série de fonctions de terme général converge en tout point du plan et que sa somme, la fonction , définie par la relation suivante
est continue dans le plan.
5. Démontrer que cette fonction est harmonique dans tout le plan .

Principe du maximum :

Soit une fonction réelle harmonique définie dans tout le plan . Soit le disque fermé de centre et de rayon strictement positif ; soit le cercle de centre et de rayon :
Étant donné un entier strictement positif , soit la fonction définie dans par la relation suivante :
  1. Démontrer l'existence d'un point de coordonnées et , appartenant au disque fermé en lequel la fonction atteint son maximum :
  1. Démontrer que, si le point appartient à l'intérieur du disque , les deux dérivées secondes de la fonction , obtenues en dérivant deux fois par rapport à ou deux fois par rapport à , sont, en ce point , négatives ou nulles :
  1. En déduire, en calculant par exemple le laplacien de la fonction , que le point est situé sur le cercle .
  2. Démontrer qu'il existe un point de coordonnées et du cercle en lequel la fonction atteint son maximum sur :
  1. En déduire que deux fonctions harmoniques dans le plan égales le long d'un cercle du plan (de rayon strictement positif), sont égales dans tout le disque de frontière .

Propriété de la moyenne

Soit une fonction réelle harmonique définie dans le plan . Étant donnés un point de coordonnées et et un réel positif ou nul, soit la fonction définie sur la demi-droite fermée par la relation suivante :
  1. Démontrer que la fonction est définie et continue sur la demi-droite fermée .
  2. Démontrer que la fonction est continûment dérivable. Préciser sa dérivée .
  3. Démontrer que le produit est égal à la valeur d'une intégrale curviligne d'une forme différentielle le long d'un arc orienté :
Préciser la forme différentielle et l'arc orienté .
14. Démontrer que la fonction est une fonction constante ; préciser sa valeur.
15. Soit le disque fermé de centre le point de coordonnées ( ) et de rayon ; démontrer que l'intégrale double de la fonction étendue au disque se calcule simplement en fonction de suivant la relation :

Fonctions harmoniques bornées dans le plan :

Soit une fonction définie dans tout le plan, réelle, harmonique et bornée : il existe donc une constante telle qu'en tout point ( ) du plan :
  1. Soient deux disques fermés et de centres, distincts l'un de l'autre, et , de coordonnées respectives et . Soit le rayon commun de ces disques. La distance des centres et (égale à ) est supposée strictement inférieure au rayon . Soit l'ensemble des points du disque qui ne sont pas dans le disque .
En considérant par exemple un disque contenu dans l'intersection des disques et , démontrer que l'aire de est majorée par l'expression .
17. À l'aide par exemple de la question 15 , donner un majorant de la valeur absolue de la différence au moyen de la constante , du rayon et de .
En déduire que la fonction est constante.

Problème II

Soit la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :
Un difféomorphisme de la droite réelle sur elle-même de classe est dit difféomorphisme de classe si la fonction est indéfiniment dérivable.

Un difféomorphisme de de classe :

  1. Démontrer que la restriction de la fonction à l'intervalle ouvert [ est indéfiniment dérivable et que, pour tout entier , il existe un polynôme tel que la dérivée de d'ordre s'écrive sous la forme suivante :
  1. En déduire que la fonction est indéfiniment dérivable sur la droite réelle . Justifier, sans calcul, l'existence d'un majorant de la valeur absolue de la dérivée première sur la droite réelle :
Étant donné un réel , soit la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :
  1. Démontrer que, si la valeur absolue du réel est strictement majorée par , la fonction est une bijection de la droite réelle sur elle-même et un difféomorphisme de classe de .
Quelle est, dans ces conditions ( ), l'image du segment par l'application ? Que dire de la restriction de l'application aux demi-droites fermées ] et
Un difféomorphisme de classe du plan , défini par des fonctions indéfiniment dérivables est appelé difféomorphisme de classe .

Difféomorphismes du plan de classe :

Le plan est supposé muni de la norme euclidienne et rapporté à un repére orthonormé .
Étant donnés un réel , un réel strictement positif et un point du plan de coordonnées ( ), soit l'application de dans lui-même définie par la relation suivante:
L'image du point de coordonnées ( ) par l'application est le point de coordonnées :
  1. Quelle est l'image par cette application du point ? du cercle de centre le point et de rayon égal à ? de l'ouvert des points du plan situé à une distance du point strictement supérieure à ?

Existence de difféomorphismes du plan de classe :

  1. Démontrer qu'il existe un réel strictement positif tel que, si le réel a une valeur absolue strictement inférieure à , l'application est une bijection du plan sur lui-même et un difféomorphisme de classe de .
Soient points du plan , deux à deux distincts, et deux points et , distincts entre eux et distincts des points . Les coordonnées des points , sont ( ), ; celles de et respectivement ( ) et ( ).
Le but des questions 23 à 26 est de montrer qu'il existe un difféomorphisme de classe du plan transformant en et laissant les points invariants. Un difféomorphisme de classe du plan laissant les points invariants est dit avoir la propriété .
Il est admis que l'ensemble des difféomorphismes de classe du plan est un groupe pour la loi de composition des applications.
Trois cas sont envisagés :
cas : Les points et ont même ordonnée ; les ordonnées des points , sont toutes différentes de celle de .
23. Démontrer, dans ce cas, que, si les points et sont suffisamment proches, il existe une application transformant en et laissant les invariants.
24. Démontrer, toujours dans ce cas, que, quelle que soit la position des points et , il existe une suite finie de bijections , telle que la composée de ces applications transforme en et ait la propriété .
è cas : Les points et ont même abscisse ; les abscisses des points , sont toutes différentes de celle de .
25. Indiquer comment modifier l'application en pour construire un endomorphisme transformant en et ayant la propriété .
è cas : Les points et n'ont plus d'abscisse ou d'ordonnée commune.
26. Établir l'existence d'un difféomorphisme transformant en et ayant la propriété .
Difféomorphisme transformant une suite de points en une suite de points .
27. Soient deux suites de points, deux à deux distincts, et du plan . Démontrer qu'il existe un difféomorphisme de classe du plan , tel que chaque point ait pour image le point .

FIN DE L'ÉPREUVE

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