J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Mathématiques 2 MP 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesSuites et séries de fonctions
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2002
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2002MP MathsMaths 2002
2025_08_29_578ac4850b8c06003b5dg

A 2002 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.
Le crible d'Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite possible d'indexer la suite des nombres premiers :
Dans tout le problème la lettre est réservée aux nombres premiers. Étant donné un réel , sa partie entière est l'entier qui vérifie la double inégalité suivante :
Étant donné un réel , supérieur ou égal à 2 , ( ), il existe un entier égal au rang du plus grand nombre premier inférieur ou égal à

Première partie

Le but de cette partie est de démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée et d'étudier la nature de la série de terme général .

I-1. La suite des nombres premiers est illimitée :

Démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée en considérant, par exemple, pour nombres premiers donnés, l'entier défini à partir de ces nombres premiers par la relation suivante :
Dans toute la suite est un entier supérieur ou égal à un réel donné strictement positif ( )

I-2. Ensemble :

a. Justifier la relation suivante :
b. Soient et deux entiers, différents l'un de l'autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2 ; démontrer que la série double de terme général , , défini par la relation suivante
est sommable. Déterminer sa somme .
Soient les premiers nombres premiers, l'ensemble des réels obtenus en considérant tous les produits des réels élevés à des exposants , , entiers positifs ou nuls.
c. Démontrer que l'application , de dans , est injective. En déduire qu'il est possible d'indexer les réels dans l'ordre croissant : l'application est strictement croissante de sur .
Exemples : écrire la suite des 12 premiers termes de la suite lorsque le réel est égal à 1 et l'entier égal à 2 puis à 3 .
Il est admis que la série de terme général , est convergente ; sa somme est désignée par le symbole : . Comme le laisse présager l'alinéa b, le résultat plus général ci-dessous est vrai et est admis :
Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :
Soit le rang du plus grand nombre premier inférieur à .
d. Démontrer l'inégalité suivante :
Retrouver, en donnant une valeur particulière au réel , le résultat : la suite des entiers premiers est illimitée.
Déterminer, en supposant le réel inférieur ou égal à , la limite, lorsque l'entier tend vers l'infini, de l'expression introduite ci-dessus.
Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimitée, qu'à tout réel supérieur ou égal à , peut être associé un entier tel que le réel soit encadré par les nombres premiers et :
e. Établir, lorsque le réel est strictement supérieur à , l’encadrement ci-dessous :
En déduire, pour , la limite de l'expression introduite ci-dessus lorsque l'entier tend vers l'infini.
I-3. Série de terme général :
Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme général , défini par la relation suivante.
En déduire la nature de la série de terme général :
Quelle conclusion qualitative est-il possible d'en tirer sur la répartition des nombres premiers ?

I-4. Fonction :

Soit la fonction limite de la suite . Démontrer que cette fonction, définie d'après la question I-2.e sur la demi-droite ouverte par la relation ci-dessous, est continûment dérivable.

Deuxième partie

Le but de cette partie est d'établir une majoration du produit des nombres entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier donné et d'encadrer le plus petit commun multiple de tous les entiers inférieurs ou égaux à cet entier .
Soit toujours un entier supérieur ou égal à le rang du plus grand nombre premier inférieur ou égal à ; soit le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à :
II-1. Majoration du produit des nombres premiers majorés par un entier :
a. Construire un tableau donnant pour les valeurs et 5 de l'entier les valeurs de .
b. Vérifier que, si l'entier n'est pas premier, l'inégalité implique l'inégalité .
c. L'entier est premier dans cet alinéa ; justifier l'existence d'un entier tel que :
Démontrer que tout nombre premier compris entre et divise le coefficient du binôme . Établir la majoration suivante :
En déduire que l'inégalité implique l'inégalité .
d. En déduire, pour tout entier , la majoration :
Soit le plus petit commun multiple de tous les entiers .
II-2. Une expression du p. p. c. m. :
Démontrer que le p. p. c. m. est égal au produit des nombres premiers , inférieurs ou égaux à l'entier , élevés à des puissances égales aux parties entières du rapport sur ; c'est-à-dire :

II-3. Une minoration du p. p. c. m. :

Étant donné un entier supérieur ou égal à , soit l'intégrale définie par la relation suivante :
a. Démontrer la majoration :
b. Démontrer que le p. p. c. m. est divisible par tout entier , lorsque l'entier varie de 0 à . En déduire que le produit est un entier en considérant, par exemple, une expression de obtenue par développement de .
Démontrer, à l'aide de la majoration de l'intégrale , une minoration du p. p. c. m. .

Troisième partie

Le but de cette partie est d'étudier les deux fonctions et définies ci-dessous pour en déduire un encadrement à l'infini du réel .
Pour tout réel supérieur ou égal à est égal au nombre des nombres premiers inférieurs ou égaux au réel .
Pour tout réel supérieur ou égal à est égal à la somme des logarithmes des nombres premiers inférieurs ou égaux au réel .
Plus généralement : étant donnée une suite réelle , soit la fonction définie sur la demi-droite fermée [ [, par la relation suivante :
est nul sur l'intervalle [1,2[, égal, pour , à la somme des termes de la suite dont les rangs sont inférieurs ou égaux au rang du plus grand nombre entier premier inférieur ou égal à :

III-1. Un résultat auxiliaire :

Préciser, pour une suite donnée, sur quels intervalles la fonction est continue. Quels sont ses points de discontinuité ? Préciser en ces points la valeur de .
Soit une fonction réelle, définie et continûment dérivable sur la demi-droite fermée , et une suite réelle ; démontrer la relation suivante : pour tout réel compris entre et il vient:

III-2. Une majoration de la fonction :

a. Démontrer la majoration suivante de la fonction :
b. Établir en choisissant, dans la relation établie à la question précédente, comme suite , la suite , et comme fonction , la fonction , l'inégalité suivante :
c. Démontrer la convergence vers 0 , lorsque le réel croît vers l'infini, de la fonction suivante :
Indication : introduire, pour , les intégrales de 2 à et de à .
d. En déduire l'existence d'un réel tel que, pour tout réel supérieur ou égal à , la fonction vérifie la majoration suivante :

III-3. Une minoration de la fonction :

En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. m. obtenue à la question II-3, démontrer qu'il existe un réel tel que, pour tout réel supérieur ou égal à , la fonction vérifie la minoration suivante :
Ces deux résultats sont cohérents avec le "théorème des nombres premiers" établi par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896, qui affirme que la fonction est équivalente à l'infini à la fonction .

Quatrième partie

Soit, dans toute cette partie, un entier donné ( ). L'anneau est l'ensemble quotient de l'anneau par la relation d'équivalence : "deux entiers relatifs sont équivalents si leur différence est divisible par l'entier ". Classiquement un élément de , une classe d'équivalence, est notée , étant un représentant de cette classe.
Soit la fonction qui, à l'entier , associe le nombre d'éléments inversibles de .

IV-1. Théorème d'Euler :

a. Démontrer que, pour que l'élément de soit inversible, il faut et il suffit que l'entier soit premier avec . Donner les valeurs de lorsque l'entier prend toute valeur de 2 à 7 .
b. Démontrer que l'ensemble ( des éléments de inversibles est un groupe multiplicatif. Quel est son cardinal ?
Soit un entier compris entre 0 et , premier avec . Soit le nombre d'éléments de inversibles. Démontrer la relation :
Indication : considérer l'application de ( dans lui-même puis l'expression définie par la relation suivante :
c. Application : déterminer le reste de la division de par 6 .

IV-2. Principe de cryptographie :

Soit un entier ( ) égal au produit de deux nombres premiers et .
a. Démontrer la relation :
Soit un nombre entier premier avec .
b. Établir l'existence d'un entier tel que :
Exemple simple : ; calculer, pour tout élément de .
c. Démontrer pour tout élément de , la relation :
En fait l'entier est connu de l'expéditeur, l'entier du destinataire. L'entier est très difficile à calculer si la factorisation de l'entier n'est pas connue (les entiers et sont grands).
Chiffrement du message par l'expéditeur : ; déchiffrement par le destinataire : . Le message est retrouvé.

FIN DU PROBLÈME

Mines Mathématiques 2 MP 2002 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa