Mines Mathématiques 2 MP 2001

CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE

Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit l'espace vectoriel normé des fonctions réelles, définies sur le segment , continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, définie pour une fonction de par la relation :

Pour tout entier naturel , l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à , est notée . Par abus de langage, la locution " fonction polynomiale" est remplacée par polynôme.

Il est admis que, pour une fonction donnée continue sur le segment et un entier naturel donné , il existe un polynôme , de degré inférieur ou égal à , tel que :

Le but de cette partie est d'étudier l'erreur commise lors de la meilleure approximation d'une fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : si est une fonction k-fois continûment dérivable sur , la meilleure approximation de la fonction par un polynôme de degré inférieur ou égal à est telle que :

Soit une fonction réelle définie sur l'intervalle , bornée (il existe une constante telle
que, pour tout réel de ). À cette fonction est associée la fonction , dite "module de continuité de ". Elle est définie sur la demi-droite ouverte de la manière suivante :

Étant donné un réel strictement positif, est égal à la borne supérieure des réels sachant que et sont deux réels de l'intervalle dont la valeur absolue de la différence est majorée par :

Soit une fonction réelle définie et bornée sur le segment .
a. Démontrer que le module de continuité de cette fonction est une fonction croissante définie sur la demi-droite ouverte .
b. Soient et deux réels strictement positifs, démontrer la propriété :

Soient et deux réels strictement positifs, un entier supérieur ou égal à 1 ; démontrer les relations suivantes :

c. Démontrer que la fonction est uniformément continue sur le segment si et seulement si la limite du module de continuité en 0 est nulle :

d. Démontrer que, si la fonction est continûment dérivable sur le segment , il vient pour tout réel positif :

Étant donné un entier supérieur ou égal à , soient et les fonctions définies pour tout réel par les relations suivantes :

Il est admis que la fonction vérifie les relations suivantes :
pour tout différent de entier relatif, .
Soit la fonction définie dans l'ensemble par la relation suivante :

où le réel est défini par la condition :

a. Calculer le réel et déterminer une constante telle que ce réel soit équivalent à l'infini à . Rappel :

b. Soit la fonction définie sur l'intervalle semi-ouvert ] par la relation suivante :

Démontrer qu'il existe une constante telle que la fonction soit équivalente en 0 à . En déduire que la fonction est bornée sur l'intervalle . Soit un majorant de cette fonction sur l'intervalle .

Soient et les deux intégrales suivantes :

Démontrer les deux propriétés suivantes :

c. Démontrer l'existence d'une constante telle que, pour tout entier supérieur ou égal à 1, il vienne :

Soit une fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période ; étant donné un entier supérieur ou égal à 1 , soit la fonction définie par la relation suivante :

a. Démontrer que la fonction est paire et est un polynôme de degré au plus égal à .
b. Vérifier les inégalités suivantes :

puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la majoration :

Dans la suite l'entier est supposé supérieur ou égal à 3 ; à l'entier est associé l'entier égal à la partie entière du réel . L'entier vérifie les inégalités :

Soit une fonction de l'espace . À cette fonction est associée la fonction périodique de période , définie, pour tout réel , par la relation :

Soit la fonction définie sur l'intervalle par la relation : pour tout réel de ,

L'entier est la partie entière de définie ci-dessus.
a. Démontrer que la fonction est un polynôme (une fonction polynomiale) de degré au plus égal à . Il est admis que, pour tout entier naturel , la fonction est un polynôme de degré .
b. Démontrer, pour toute fonction de l'espace et tout entier , la relation suivante

La constante a été introduite à la question I-2.c et dans l'introduction de la partie I.
c. Établir le résultat préliminaire : soit une fonction de l'espace ; pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , il vient :

Démontrer, pour toute fonction continûment dérivable sur le segment et tout entier , la relation ci-dessous entre et :

d. Étant donné un entier supérieur ou égal à , soit une fonction k-fois continûment dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier supérieur strictement à , de en fonction de .

En déduire que, si est une fonction k-fois continûment dérivable et un entier croissant indéfiniment, l'expression est un infiniment petit d'ordre supérieur à .

Le but de cette partie est, pour une fonction donnée dans , de construire une suite de polynômes , qui, lorsque la fonction est continûment dérivable, converge uniformément vers la fonction .

Dans cette partie, l'entier est fixé et est supérieur ou égal à . Soit le sous-espace de constitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en -1 et en 1 .

a. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel ? Soit la suite de polynômes définie par la relation :

Démontrer que la suite de ces polynômes est une base de l'espace vectoriel .
b. Soit l'endomorphisme de l'espace vectoriel défini par la relation suivante :

Démontrer que la matrice associée à l'endomorphisme dans la base est une matrice triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette matrice.

En déduire l'existence d'une base définie par une suite de polynômes qui vérifient les relations suivantes :

Ces polynômes sont supposés unitaires (le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1 ). Préciser les coefficients et le degré des polynômes .
c. À deux polynômes quelconques et appartenant à l'espace vectoriel est associée l'intégrale définie par la relation suivante :

Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme l'expression est-elle nulle ?

Il est admis dans la suite que l'application de dans est un produit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté (. | .) :

d. Démontrer que la base est orthogonale dans l'espace préhilbertien ( , (. | .)).

a. Un résultat préliminaire : démontrer que le polynôme possède la propriété : pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , l'intégrale ci-dessous est nulle :

b. Deux cas sont considérés :
i. Le polynôme admet des racines, d'ordre de multiplicité impair, situées dans l'intervalle ouvert . Soient , ces racines (l'entier est strictement positif).

Soit le polynôme défini par la relation :

Démontrer que l'intégrale de la fonction étendue au segment est différente de 0 :

En utilisant le résultat de l'alinéa a, déterminer le degré du polynôme .
ii. Le polynôme n'a pas de racines, d'ordre de multiplicité impair, situées dans l'intervalle ouvert .

Démontrer que l'intégrale de la fonction étendue au segment est différente de 0 . En déduire que les racines du polynôme sont simples et situées sur le segment .

Dans la suite, les racines du polynôme sont notées et vérifient la relation suivante :

Soit une fonction continue appartenant à l'espace .
a. Soit l'application de l'espace vectoriel dans définie par la relation suivante :

Démontrer que l'application est un isomorphisme de l'espace vectoriel sur .
En déduire qu'à une fonction donnée dans , est associé un seul polynôme appartenant à , vérifiant les relations suivantes :

Démontrer que, si est un polynôme appartenant à , il vient :

b. Démontrer que le polynôme s'écrit :

où est le polynôme défini par la relation :

c. Démontrer, pour tout polynôme appartenant à , l'inégalité :

II-4. Majoration de :
Soit une fonction continue appartenant à l'espace .
a. Soit l'application de l'espace vectoriel dans définie par la relation suivante :

Démontrer que l'application est un isomorphisme de l'espace vectoriel sur .
En déduire qu'à une fonction donnée dans est associé un seul polynôme appartenant à , vérifiant les relations suivantes :

Que vaut
Il est admis que le polynôme est défini par la relation suivante :

b. Calcul des dérivées .

Déterminer l'expression, pour tout entier compris entre 0 et , de la dérivée en fonction des dérivées première et seconde et .

En utilisant l'équation différentielle vérifiée par le polynôme (question II-1.b) déterminer les valeurs de lorsque l'entier est compris entre 1 et . Calculer ensuite et .
c. En déduire les inégalités :

Démontrer que, pour toute fonction continue appartenant à l'espace , pour tout entier supérieur ou égal à 3 , la norme de la différence entre la fonction et le polynôme est majorée par le produit :

En particulier démontrer que, si la fonction est continûment dérivable sur , la suite des polynômes converge uniformément, lorsque l'entier tend vers l'infini, vers la fonction .

Que dire de la convergence lorsque la fonction est indéfiniment continûment dérivable ?