Mines Mathématiques 2 MP 2000

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2000

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le but de ce problème est d'établir que le réel ln2 est irrationnel.

Soit la série entière de terme général définie par la relation suivante :

Rappel : pour tout entier strictement positif et tout entier naturel tel que , est le cardinal de l'ensemble des parties ayant éléments d'un ensemble de éléments. Par convention : .

Soit le rayon de convergence de la série entière de terme général ; la somme de cette série entière est la fonction définie à l'intérieur de l'intervalle ouvert par la relation :

a. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général .
b. Démontrer que, sur l'intervalle ouvert de convergence , la fonction vérifie l’équation différentielle linéaire du premier degré.

c. En déduire l'expression de sur l'intervalle ouvert .
2. Fonctions :

Soit un entier strictement positif ( ); soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation :

Déterminer le développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 . Exprimer le coefficient de à l'aide de
3. Fonction :

Soit la fonction définie par la relation :

a. Quel est l'ensemble de définition de la fonction ?
b. Déterminer pour quelles valeurs du réel la relation suivante

est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0 , la fonction est égale à la somme d'une série de fonctions , définies par la relation :

Les sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite :

c. Déduire des résultats précédents l'existence d'un développement en série entière de la fonction dans un voisinage de 0 :

Exprimer chaque coefficient à l'aide de la somme d'une série. Préciser le rayon de convergence de la série entière de terme général .
d. Démontrer que la fonction vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre :

dans laquelle les deux fonctions et sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 . Les déterminer.
e. En déduire que les coefficients du développement en série entière de la fonction vérifient, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , la relation de récurrence ( ) suivante
(R) .

Déterminer les coefficients et .

Le but de cette question est la recherche d'une fonction qui possède les deux propriétés :
i. les valeurs de et de sont données par les relations suivantes :

ii. le réel est la somme d'une série entière de terme général , dont les coefficients , vérifient la relation de récurrence suivante :
(R) .
a. Démontrer que les coefficients , sont bien déterminés; calculer et .

En supposant le rayon de convergence de la série entière de terme général , strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fonction .
b. Etablir la relation :

c. En déduire l'expression de chaque coefficient au moyen des coefficients . En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière de terme général
d. Soit un entier strictement positif ; soit le plus petit commun multiple des premiers entiers . Démontrer que le réel est un entier relatif :

Soit la suite des réels définis par la relation suivante : pour tout entier strictement positif :

a. Calculer et . Exprimer, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , le terme en fonction de l'entier et de . Etudier le signe des réels , et la monotonie de cette suite. Déterminer le plus petit des majorants de cette suite.
b. Démontrer que la suite des nombres réels est définie et strictement croissante ; déterminer, pour tout entier strictement positif une majoration de la différence

à l'aide de la constante et des deux réels et . En déduire que la suite est convergente. Soit la limite de cette suite :

Soit un réel strictement positif donné. D'après la question précédente, il existe un entier tel que, pour tout entier supérieur ou égal à , le rapport est encadré par et :

a. Démontrer que, lorsque le réel tend vers par valeurs inférieures, les deux fonctions et croissent vers l'infini.

Soient et les fonctions définies par les relations suivantes :

b. Démontrer, lorsque le réel est compris entre 0 et , l'encadrement suivant :

c. Démontrer que, pour tout entier naturel donné, il existe une constante qui majore les deux fonctions et sur le segment .

En déduire que la fonction a pour limite lorsque le réel tend vers par valeurs inférieures.
d. Déterminer le réel en admettant la relation ci-dessous :

Soit un réel strictement positif donné ; soit la suite des réels définis par la relation suivante :

a. Démontrer qu'il est possible de choisir le réel et deux suites et , qui ont chacune, lorsque l'entier croît vers l'infini, une limite finie, tels que la suite vérifie, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , la relation de récurrence suivante

b. Soit la suite qui vérifie les relations suivantes

Déterminer les réels ; en déduire un infiniment grand équivalent à à l'infini.
c. En admettant que les deux réels et sont équivalents à l'infini, en déduire un infiniment grand équivalent à lorsque l'entier croît indéfiniment.

Soit le réel défini par la relation :

a. Démontrer l'existence d'un entier et d'une constante positive , tels que, pour tout entier supérieur ou égal à , il vienne :

b. A l'aide de la majoration démontrée à la question 5.d, établir qu'étant donné un réel a strictement compris entre 0 et , il existe une constante , telle que, pour tout entier supérieur ou égal à , l'encadrement ci-dessous a lieu :

c. Il est admis que le nombre des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier donné est un infiniment grand équivalent à :

En déduire qu'il existe un entier tel que, pour tout entier supérieur ou égal à , la relation ci-dessous ait lieu.

d. Soient et les entiers (premiers entre eux) définis par les relations suivantes:

Démontrer l'existence d'un réel , strictement positif, d'une constante et d'un entier tels que, pour tout entier supérieur ou égal à , l'encadrement ci-dessous ait lieu.

Le résultat ci-dessous est admis :

e. Démontrer que, si est rationnel, il existe une constante , strictement positive, ne dépendant que du rationnel , pour laquelle l'inégalité ci-dessous est vérifiée.

f. En déduire que le réel ln 2 est irrationnel.

FIN DU PROBLÈME