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Mines Mathématiques 2 MP MPI 2023

Fonction de Wallis

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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsPolynômes et fractions
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Mines
Année
2023
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Mines MP/MPIMines 2023MP/MPI MathsMaths 2023
2025_08_29_cebef73a6059f6cfe86fg

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonction de Wallis

Préliminaires

Dans tout le sujet, l'intervalle de est appelé et et sont les fonctions, de dans , définies par :
et
On se propose, dans cette épreuve, d'étudier (domaine de définition, régularité, variations, convexité, développement éventuel en série entière,...) puis, dans la dernière partie, de montrer qu'elle est la seule fonction numérique à vérifier certaines propriétés.

1 Calcul de

Déterminer le domaine de définition de puis justifier que est continue sur celui-ci.
Exhiber deux nombres réels et tels que :
puis vérifier que si , alors :
Justifier que, si est une application de classe de dans , alors
et en conclure que

2 Équivalents

Déterminer le domaine de définition de puis vérifier que
5- Justifier que est de classe , décroissante et convexe sur .
Donner un équivalent simple de lorsque tend vers -1 .
Montrer que pour tout entier naturel ,
puis que :
Représenter graphiquement en exploitant au mieux les résultats précédents.

3 Développement en série entière

Si , on note l'intégrale généralisée .
Justifier que, si , l'intégrale généralisée est convergente, puis montrer que
Calculer et .
Vérifier que si , alors
puis que
Démontrer que est développable en série entière sur .

4 Convergence de suite de fonctions

On se propose dans cette partie de calculer . Dans ce but, on considère deux nombres réels strictement positifs et , et on pose
On appelle l'application de dans définie par :
Montrer que est de classe sur , puis que pour tout ,
En déduire que pour tout ,
En conclure que
On définit les suites réelles et par
Établir la convergence simple de la suite d'applications , de dans , définie par :
En déduire .

5 Convexité logarithmique

Une application d'un intervalle non trivial de dans est dite ln-convexe si, et seulement si, elle est à valeurs dans et est convexe sur .
Vérifier que est une application de dans ln-convexe.
On souhaite désormais déterminer toutes les applications de dans qui sont lnconvexes et qui vérifient la propriété (1), voir question 4.
On appelle l'application de dans , définie par :
Montrer que
On suppose ici que et . Vérifier que
et que admet une limite lorsque tend vers .
En conclure que est la seule application de dans , qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que
Plus généralement, déterminer, si , toutes les applications de dans , ln-convexes et vérifiant
Existe-t-il une application , de dans et ln-convexe, vérifiant
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