Mines Mathématiques 1 PSI 2013

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des nombres réels, i la matrice unité d'ordre et le -ème vecteur de la base canonique de dont les composantes sont les . On rappelle que si et si .

On note ( ) le produit scalaire des vecteurs et de . Les vecteurs de seront assimilés à des matrices colonnes; note le transposé du vecteur .

L'expression : signifie "pour tout entier tel que ."

Soit un vecteur unitaire de ; la matrice

est la matrice de Householder d'ordre associée au vecteur .
Question 1 Montrer que et que dès que est orthogonal à .
Question 2 Démontrer que H est symétrique et orthogonale.
Question 3 Soit , de composantes , un vecteur unitaire non colinéaire à . On pose , montrer que est unitaire et que .
Question 4 En déduire que si est un vecteur de non colinéaire à , il existe un vecteur unitaire et une matrice de Householder associée H telle que .

Soient un réel, Q une matrice symétrique réelle d'ordre un vecteur de et une matrice définie par blocs. Si est une matrice de Householder d'ordre ; on pose , où note le vecteur nul dans , ainsi que .
Question 5 Montrer que est semblable à et qu'on peut choisir de telle sorte que pour .

On dit qu'une matrice est tridiagonale si dès que .

Question 6 En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable à .

Une matrice tridiagonale symétrique réelle est encore appelée matrice de Jacobi. Soit

une matrice de Jacobi d'ordre . On pose et on suppose que , . On note le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres.

Question 7 Soit et un vecteur propre associé de composantes . En raisonnant par l'absurde, montrer que .
Question 8 Démontrer que les sous-espaces propres de sont de dimension 1. Quel est le cardinal de ?

On remplace désormais les et les par des fonctions à valeurs réelles et de la variable réelle . On pose alors

ainsi que

et on étudie le système différentiel non linéaire suivant :

dont on admettra qu'il possède une solution et une seule définie sur . Le couple constitue une paire de Lax.

Question 9 Etant donnée solution de (5), et donc , démontrer que le système différentiel

admet une solution et une seule sur .
Question 10 Montrer que pour tout , la matrice solution de (6) est orthogonale.
Question 11 Montrer que est une matrice constante que l'on déterminera. Les valeurs propres de dépendent-elles de ?

On montre facilement, et on admettra, que le système différentiel (5) peut s'écrire sous la forme suivante :

avec et . C'est le système de Toda.

Pour tout réel , on pose

Question 12 Montrer que la fonction est constante. En déduire que les fonctions sont bornées sur , soit par .
Question 13 Pour , montrer que et en déduire que les sont intégrables sur .
Question 14 En déduire que les possèdent une limite quand .

Question 15 Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction est intégrable sur . En déduire la limite de lorsque .

On note le polynôme caractéristique de la matrice et les valeurs propres de T rangées dans l'ordre décroissant.

Les limites de pour ou seront respectivement notées et ; l'ensemble des sera noté et celui des sera noté .

Question 16 Montrer que pour tout tend vers (respectivement vers ) lorsque (respectivement ).
Question 17 En déduire que .
On rappelle que, par hypothèse, .
Pour fixé compris entre 1 et , on note et .

Question 18 On suppose que n'est pas vide et on pose . Déterminer la valeur de et montrer que pour est du même signe que .
Question 19 En supposant toujours que n'est pas vide, montrer que

En déduire que nécessairement , puis que ne s'annule en aucun point de R.

Question 20 En raisonnant par l'absurde, montrer que ; en déduire que .
Question 21 Montrer que si est choisi tel que , alors il existe et strictement positifs tels que . En déduire que pour tel que .